Развитие математических способностей

у младших школьников

Способности формируются и развиваются в процессе обучения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать и совершенствовать способности детей. В период с 3-4 лет до 8-9 лет происходит бурное развитие интеллекта. Поэтому в период младшего школьного возраста возможности развития способностей наиболее высокие.

Под развитием математических способностей младшего школьника понимается целенаправленное дидактически и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных свойств и качеств математического стиля мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.

Проблема способностей - это проблема индивидуальных различий. При самой лучшей организации методики обучения ученик будет успешнее и быстрее продвигаться в какой-нибудь одной области, чем в другой.

Естественно, что успех в учении определяется не только одними способностями школьника. В этом смысле имеет ведущее значение содержание и методы обучения, а также отношение ученика к предмету. Поэтому успешность и не успешность в обучении не всегда дают основания для суждений о характере имеющихся у школьника способностей.

Наличие слабых способностей у учащихся не освобождает учителя от необходимости, насколько возможно, развивать способности этих учащихся в данной области. Вместе с тем стоит не менее важная задача - всемерно развивать его способности в той области, в которой он проявляет их.

Нужно воспитывать способных и отбирать способных, при этом не забывая обо всех школьниках, всемерно поднимать общий уровень их подготовки. В связи с этим в своей работе нужно различные коллективные и индивидуальные методы работы, чтобы таким образом активизировать деятельность учащихся.

Процесс обучения должен носить комплексный характер как в плане организации самого процесса обучения, так и в плане формирования у учащихся глубокого интереса к математике, умений и навыков решения задач, понимания системы математических знаний, решение с учащимися особой системы нестандартных задач, которые должны предлагаться не только на уроках, но и на контрольных работах. Таким образом, особая организация подачи учебного материала, хорошо продуманная система задач, способствуют увеличению роли содержательных мотивов изучения математики. Уменьшается число учащихся с ориентацией на результат.

На уроке должны всячески поощряться не просто решения задач, а необычность применяемого учащимися способа решения задач, в связи с этим особое значение возлагается не только на результат в ходе решения задачи, но красоту и рациональность способа.

Преподаватели успешно используют методику «составления задач» для определения направленности мотивации. Каждая задача оценивается по системе следующих показателей: характер задачи, ее правильность и отношение к исходному тексту. Этот же метод иногда используется вином варианте: после решения задачи учащимся предлагалось составить любые задачи, как-то связанные с исходной задачей.

Для создания психолого-педагогических условий повышения эффективности организации системы процесса обучения используется принцип организации процесса обучения в форме предметного общения с использованием кооперативных форм работы учащихся. Это групповое решение задач и коллективное обсуждение выставления оценок, парная и бригадная формы работы.

Методика использования системы долгосрочных заданий рассматривалась Е.С. Рабунским при организации работы со старшеклассниками в процессе обучения немецкому языку в школе.

В ряде педагогических исследований рассматривалась возможность создания систем таких заданий по различным предметам для учеников старших классов как по усвоению нового материала, так и по устранению пробелов знаний. В ходе исследований отмечено, что абсолютное большинство учеников предпочитает и тот, и другой вид работы выполнять в форме «долгосрочных заданий» или «отсроченной работы». Такой вид организации учебной деятельности, традиционно рекомендуемый главным образом для трудоемких творческих работ (сочинений, рефератов и т.д.), оказался наиболее предпочтительным для большинства опрошенных школьников. Оказалось, что такая «отсроченная работа» удовлетворяет школьника больше, чем отдельные уроки и задания, так как основным критерием удовлетворенности ученика в любом возрасте выступает успешность в работе. Отсутствие резкого временного ограничения (как это бывает на уроке) и возможность свободного многократного возвращения к содержанию работы позволяет справиться с ней гораздо успешнее. Таким образом, задания, рассчитанные на длительную подготовку, можно рассматривать также как средство воспитания положительного отношения к предмету.

Многие годы считалось, что все сказанное относится только к ученикам старшего возраста, но не соответствует особенностям учебной деятельности учеников начальных классов. Анализ процессуальных характеристик деятельности способных детей младшего школьного возраста и опыт работы Белошистой А.В. и учителей, принявших участие в экспериментальной проверке данной методики, показал высокую эффективность предлагаемой системы при работе со способными детьми. Первоначально для разработки системы заданий (в дальнейшем будем именовать их листы в связи с формой их графического оформления, удобной для работы с ребенком) были отобраны темы, связанные с формированием вычислительных навыков, которые традиционно рассматриваются учителями и методистами как темы, требующие постоянного руководства на этапе знакомства и постоянного контроля на этапе закрепления.

В ходе экспериментальной работы было разработано большое количество листов на печатной основе, объединенных в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12-20 листов. Лист представляет собой большую систему заданий (до полусотни заданий), методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их выполнения ученик мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приема, а затем закрепить новый способ деятельности. Лист (или система листов, т.е. тематический блок) представляет собой «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика, работающего по этой системе. Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде задания «с отложенным сроком» исполнения, который учитель либо устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить для себя срок его выполнения (это путь формирования самодисциплины, так как самостоятельное планирование деятельности в связи с самостоятельно определенными целями и сроками - это основа самовоспитания человека).

Тактику работы с листами учитель определяет для ученика индивидуально. На первых порах их можно предлагать ученику в качестве домашнего задания (вместо обычного задания), индивидуально договариваясь о сроках его выполнения (2-4 дня). По мере освоения этой системы, можно перейти к предваряющему или параллельному способу работы, т.е. давать ученику лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке для самостоятельного освоения материала. Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребенок сам решит, когда он хочет получить этот лист), возможно даже освобождение от других уроков в этот или следующий день для концентрации внимания на задании, консультативная помощь (на один вопрос всегда можно ответить сразу, проходя мимо ребенка на уроке) - все это поможет учителю в полной мере сделать процесс обучения способного ребенка индивидуализированным без больших затрат времени.

Не следует заставлять детей переписывать задания с листа. Ученик работает карандашом на листе, записывая ответы или дописывая действия. Такая организация обучения вызывает у ребенка положительные эмоции - ему нравится работать на печатной основе. Избавленный от необходимости утомительного переписывания ребенок работает с большей производительностью. Практика показывает, что хотя листы содержат до полусотни заданий (обычная норма домашнего задания 6-10 примеров), ученик с удовольствием работает с ними. Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному желанию.

В ходе эксперимента такие листы были разработаны по темам: «Устные и письменные вычислительные приемы», «Нумерация», «Величины», «Дроби», «Уравнения».

Методические принципы построения предлагаемой системы:

1. Принцип соответствия программе по математике для начальных классов. Содержательно листы привязаны к стабильной (типовой) программе по математике для начальных классов. Таким образом, реализовать концепцию индивидуализации обучения математике способного ребенка в соответствии с процессуальными особенностями его учебной деятельности мы полагаем возможным при работе по любому учебнику, соответствующему типовой программе.
2. Методически в каждом листе реализован принцип дозированности, т.е. в одном листе вводится только один прием, или одно понятие, или раскрывается одна, но существенная для данного понятия связь. Это, с одной стороны, помогает ребенку четко осознать цель работы, а с другой - помогает учителю легко отслеживать качество усвоения этого приема или понятия.
3. Структурно лист представляет собой подробное методическое решение задачи введения или знакомства и закрепления того или иного приема, понятия, связей этого понятия с другими понятиями. Задания подобраны и сгруппированы (т.е. имеет значение и порядок их размещения на листе) таким образом, чтобы ребенок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему простейших способов действий, и постепенно осваивать новый способ, который на первых шагах полностью раскрыт в более мелких действиях, являющихся основой данного приема. По мере продвижения по листу, эти мелкие действия постепенно компонуются в более крупные блоки. Это позволяет ученику самому освоить прием в целом, что является логическим завершением всей методической «конструкции». Такая структура листа позволяет в полной мере реализовать принцип постепенного нарастания уровня сложности на всех этапах.
4. Такая структура листа позволяет реализовать и принцип доступности, причем в гораздо более глубокой степени, чем это удается сегодня сделать при работе только с учебником, так как систематическое использование листов позволяет усваивать материал в удобном для ученика индивидуальном темпе, который ребенок может регулировать самостоятельно.
5. Система листов (тематический блок) позволяет реализовать принцип перспективности, т.е. постепенное включение ученика в деятельность планирования учебного процесса. Задания, рассчитанные на длительную (отсроченную) подготовку, требуют перспективного планирования. Умение же организовать свой труд, спланировав его на определенный срок, является важнейшим учебным умением.
6. Система листов по теме позволяет также реализовать принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся, причем не на основе дифференциации уровня сложности заданий, а на основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков. Индивидуализированные сроки и способы выполнения заданий позволяют предъявлять всем детям задания одного уровня сложности, соответствующего программным требованиям к норме. Это не означает, что талантливым детям не надо предъявлять требования более высокого уровня. Листы на определенном этапе позволяют таким детям использовать более насыщенный с интеллектуальной точки зрения материал, который в пропедевтическом плане будет знакомить их со следующими математическими понятиями более высокого уровня сложности.

Методика обучения математике младших школьников как учебный предмет

Лекция 2. Предмет, задачи и цели изучения курса методики преподавания математики в вузе

1. Методика обучения математике младших школь­ников как учебный предмет

2. Методика обучения математике младших школь­ников как педагогическая наука и как сфера прак­тической деятельности

Рассмотрим цель изучения курса «Методика обучения матема­тике в начальной школе» в процессе подготовки будущего учите­ля начальной школы.

Обсуждение на лекции со студентами

Рассматривая методику обучения математике младших школь­ников как науку, необходимо, прежде всего определить ее место в системе наук, очертить круг проблем, которые она призвана ре­шать, определить ее объект, предмет и особенности.

В системе наук методические науки рассматриваются в блоке дидактики. Как известно, дидактика подразделяется на теорию воспитания и теорию обучения. В свою очередь, в теории обуче­ния выделяют общую дидактику (общие вопросы: методы, формы, средства) и частные дидактики (предметные). Частные дидактики и называются по-другому - методики обучения или, как принято в последние годы - образовательные технологии.

Таким образом, методические дисциплины относятся к циклу педагогических, но в то же время, представляют собой сугубо пред­метные области, поскольку методика обучения грамоте, безусловно, очень сильно будет отличаться от методики обучения математике, хотя обе они являются частными дидактиками.

Методика обучения математике младших школьников - очень древняя и очень молодая наука. Обучение счету и вычислениям со­ставляло необходимую часть обучения в древнешумерских и древнеегипетских школах. Об обучении счету рассказывают на­скальные росписи эпохи палеолита. К первым учебным пособиям для обучения детей математике можно отнести «Арифметику» Магниц­кого (1703) и книгу В.А. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» (1910)... В 1935 г. СИ. Шохор-Троцким был написан пер­вый учебник «Методика обучения математике». Но лишь в 1955 г, появилась первая книга «Психология обучения арифметике», автор которой Н.А. Менчинская обратилась не столько к характеристике математической специфики предмета, сколько к закономерностям ус­воения арифметического содержания ребенком младшего школьно­го возраста. Таким образом, появлению этой науки в ее современном виде предшествовало не только развитие математики как науки, но и развитие двух больших областей знания: общей дидактики обучения и психологии обучения и развития. В последнее время немаловаж­ную роль в становлении методики обучения начинает играть психо­физиология развития мозга ребенка. На пересечении этих областей рождаются сегодня ответы на три «вечных» вопроса методики обучения предметному содержанию:

1. Зачем обучать? Какова цель обучения маленького ребенка ма­тематике? Нужно ли это? И если нужно, то зачем?

2. Чему обучать? Какому содержанию следует обучать? Каков дол­жен быть список математических понятий, предназначенных для изучения с ребенком? Есть ли какие-то критерии отбора это­го содержания, иерархия его построения (последовательность) и чем они обоснованы?

3. Как обучать? Какие способы организации деятельности ребенка
(методы, приемы, средства, формы обучения) следует отбирать и применять для того, чтобы ребенок мог с пользой усваивать отобранное содержание? Что понимать при этом под «пользой»: количество знаний и умений ребенка или что-то другое? Как учитывать при организации обучения психологические особен­ности возраста и индивидуальные различия детей, но в то же время «укладываться» в отведенное время (учебный план, про­
грамма, режим дня), а также учитывать реальное наполнение класса в связи с принятой в нашей стране системой коллектив­ного обучения (классно-урочная система)?

Эти вопросы фактически определяют круг проблем любой методической науки. Методика обучения математике младших школьников как наука, с одной стороны, обращена к конкретному содержанию, отбору и упорядочению его в соответствии с постав­ленными целями обучения, с другой - к педагогической методиче­ской деятельности учителя и учебной (познавательной) деятель­ности ребенка на уроке, к процессу усвоения отобранного содер­жания, управление которым осуществляет учитель.

Объект исследования этой науки - процесс математического раз­вития и процесс формирования математических знаний и представ­лений ребенка младшего школьного возраста, в котором можно выделить следующие компоненты: цель обучения (Зачем учить?), со­держание (Чему учить?) и деятельность учителя и деятельность ре­бенка (Как учить?). Эти компоненты образуют методическую систе­му, в которой изменение одного из компонентов вызовет изменение другого. Выше были рассмотрены видоизменения этой системы, ко­торые повлекло изменение цели начального обучения в связи с изме­нением образовательной парадигмы в последнее десятилетие. Позже мы рассмотрим видоизменения этой системы, которые влекут за собой психолого-педагогические и физиологические исследования послед­него полувека, теоретические результаты которых постепенно про­никают в методическую науку. Можно также отметить, что немало­важным фактором изменения подходов к построению методической системы, являются изменения взглядов математиков на определение системы базовых постулатов для построения школьного курса мате­матики. Например, в 1950-1970 гг. преобладающим было убежде­ние в том, что базовым для построения школьного курса математики должен быть теоретико-множественный подход, что отразилось на методических концепциях школьных учебников математики, а сле­довательно, требовало соответствующей направленности начальной математической подготовки. В последние десятилетия математики все больше говорят о необходимости развивать у школьников функ­циональное и пространственное мышление, что отражается в содер­жании учебников, изданных в 90-х годах. В соответствии с этим по­степенно меняются и требования к начальной математической под­готовке ребенка.

Таким образом, процесс развития методических наук тесно свя­зан с процессом развития других педагогических, психологических и естественных наук.

Рассмотрим взаимосвязь методики обучения математике в на­чальной школе с другими науками.

1. Методика математического развития ребенка использует ос­новные идеи, теоретические положения и результаты исследова­ний других наук.

Например, философские и педагогические идеи играют осно­вополагающую и направляющую роль в процессе разработки методической теории. Кроме того, заимствование идей других на­ук может служить основой разработки конкретных методических технологий. Так, идеи психологии и результаты ее эксперименталь­ных исследований широко используются методикой для обоснова­ния содержания обучения и последовательности его изучения, для разработки методических приемов и систем упражнений, органи­зующих усвоение детьми различных математических знаний, по­нятий и способов действий с ними. Идеи физиологии об условно-рефлекторной деятельности, двух сигнальных системах, обратной связи и возрастных этапах созревания подкорковых зон мозга по­могают понять механизмы приобретения умений, навыков и при­вычек в процессе обучения. Особое значение для развития мето­дики обучения математике в последние десятилетия имеют резуль­таты психолого-педагогических исследований и теоретических изысканий в области построения теории развивающего обучения (Л.С. Выготский, Ж. Пиаже, Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин, Н.Н. Поддъяков, Л.А. Венгер и др.). В ос­нове этой теории лежит положение Л.С. Выготского о том, что обучение строится не только на завершенных циклах развития ре­бенка, но прежде всего на тех психических функциях, которые еще не созрели («зоны ближайшего развития»). Такое обучение спо­собствует эффективному развитию ребенка.

2. Методика творчески заимствует методы исследований, при­меняемых в других науках.

Фактически любой метод теоретического или эмпирического исследования может найти применение в методике, поскольку в условиях интеграции наук методы исследования очень быстро становятся общенаучными. Так, знакомый студентам метод ана­лиза литературы (составление библиографий, конспектирование, реферирование, составление тезисов, планов, выписывание цитат и т. п.) является универсальным и используется в любой науке. Ме­тод анализа программ и учебников является общеупотребимым во всех дидактических и методических науках. Из педагогики и пси­хологии методика заимствует метод наблюдения, анкетирования, беседы; из математики - методы статистического анализа и т. д.

3. Методика использует конкретные результаты исследований психологии, физиологии высшей нервной деятельности, математи­ки и других наук.

Например, конкретные результаты исследований Ж. Пиаже про­цесса восприятия детьми младшего возраста сохранения количе­ства породили целые серии конкретных математических заданий в различных программах для младших школьников: на специаль­но построенных упражнениях ребенка учат понимать, что измене­ние формы предмета не влечет за собой изменения его количества (например, при переливании воды из широкой банки в узкую бу­тылку повышается ее зрительно воспринимаемый уровень, но это не означает, что воды в бутылке стало больше, чем было в банке).

4. Методика участвует в комплексных исследованиях развития ребенка в процессе его обучения и воспитания.

Например, в 1980-2002 гг. появился целый ряд научных иссле­дований процесса личностного развития ребенка младшего школь­ного возраста в ходе обучения его математике.

Обобщая вопрос о связи методики математического развития и формирования математических представлений у дошкольников, можно отметить следующее:

Нельзя вывести из какой-то одной науки систему методических знаний и методических технологий;

Данные других наук необходимы для разработки методической теории и практических методических рекомендаций;

Методика как и любая наука будет развиваться, если она будет пополняться все новыми и новыми фактами;

Одни и те же факты или данные могут быть интерпретированы и использованы различным (и даже противоположным) обра­зом в зависимости от того, какие цели реализуются в образова­тельном процессе и какая система теоретических принципов (методология) принята в концепции;

Методика не просто заимствует и использует данные других на­ук, а перерабатывает их так, чтобы разработать способы опти­мальной организации обучающего процесса;

Методологию, определяет соответствующая концепция матема­тического развития ребенка; таким образом, концепция - это не что-то абстрактное, далекое от жизни и реальной образователь­ной практики, а теоретическая база, определяющая построение совокупности всех составляющих методической системы: цели, содержание, методы, формы и средства обучения.

Рассмотрим соотношение современных научных и «житейских» представлений об обучении математике младших школьников.

В основе любой науки лежит опыт людей. Например, физика опирается на приобретаемые нами в повседневной жизни знания о движении и падении тел, о свете, звуке, теплоте и многом другом. Математика тоже исходит из представлений о формах предметов окружающего мира, их расположении в пространстве, количест­венных характеристиках и соотношениях частей реальных мно­жеств и отдельных объектов. Первая стройная математическая теория - геометрия Евклида (IV в. до н. э.) родилась из практиче­ского землемерия.

Совсем иначе обстоит дело с методикой. У каждого из нас есть запас житейского опыта обучения кого-нибудь чему-нибудь. Однако заниматься математическим развитием ребенка можно только обла­дая специальными методическими знаниями. Чем же отличаются специальные (научные) методические знания и умения от жи­ тейских представлений о том, что для обучения младшего школь­ника математике достаточно иметь некоторые представления о счете, вычислениях и решении простых арифметических задач?

1. Житейские методические знания и умения конкретны; они приурочены к конкретным людям и конкретным задачам. Напри­мер, мать, зная особенности восприятия своего ребенка, путем многократных повторений обучает ребенка называть числитель­ные в правильном порядке и узнавать конкретные геометрические фигуры. При достаточном упорстве матери ребенок научается бегло называть числительные, распознает достаточно большое количе­ство геометрических фигур, узнает и даже пишет цифры и т. п. Мно­гие полагают, что именно этому следует научить ребенка перед школой. Гарантирует ли это обучение развитие математических способностей у ребенка? Или хотя бы дальнейшую успешность это­го ребенка в математике? Опыт показывает, что не гарантирует. Сможет ли эта мать научить тому же другого ребенка, непохожего на ее ребенка? Неизвестно. Сможет ли эта мать помочь своему ре­бенку с усвоением другого математического материала? Скорее все­го - нет. Чаще всего можно наблюдать картину, когда мать сама знает, например, как складывать или отнимать числа, решать ту или иную задачу, но объяснить даже своему ребенку так, чтобы он усвоил способ решения, не может. Таким образом, житейские мето­дические знания характеризуются конкретностью, ограниченно­стью задачи, ситуаций и лиц, на которые они распространяются,

Научные же методические знания (знания образовательной технологии) стремятся к обобщенности. Они используют научные понятия и обобщенные психолого-педагогические закономерности. В научных методических знаниях (образовательных технологиях), состоящих из четко определяемых понятий, отражаются наиболее существенные их взаимосвязи, что позволяет формулировать методические закономерности. Например, опытный высокопро­фессиональный учитель по характеру ошибки ребенка часто может определить, какие методические закономерности формирования данного понятия нарушались при обучении этого ребенка.

2. Житейские методические знания носят интуитивный харак­тер. Это связано со способом их получения: они приобретаются путем практических проб и «прилаживаний». Таким путем идет чуткая внимательная мать, экспериментируя и зорко подмечая малейшие положительные результаты (что нетрудно сделать, проводя с ребенком много времени. Часто сам предмет «математи­ка» накладывает специфические отпечатки на восприятие родите­лей. Нередко можно слышать: «Я сама в школе с математикой мучилась, у него те же проблемы. Это у нас наследственное». Или наоборот: «У меня никаких проблем с математикой не было в шко­ле, не пойму - в кого он такой уродился!» Распространено мне­ние, что математические способности у человека либо есть, либо нет, и ничего с этим не поделаешь. Мысль о том, что математические способности (также как и музыкальные, изобразительные, спортив­ные и другие) можно развивать и совершенствовать большинством людей воспринимается скептически. Такая позиция очень удобна для оправдания ничегонеделанья, но с точки зрения общемето­дических научных знаний о природе, характере и генезисе матема­тического развития ребенка она, конечно, неадекватна.

Можно сказать, что в отличие от интуитивных методических знаний, научные методические знания рациональны и осознанны. Методист-профессионал никогда не будет кивать на наследствен­ность, «планиду», отсутствие материалов, плохое качество учебных пособий и недостаточное внимание родителей к учебным пробле­мам ребенка. У него имеется достаточно большой арсенал дейст­венных методических приемов, нужно лишь отобрать из него те, которые являются для данного ребенка наиболее подходящими.

3. Научные методические знания можно передать другому
человеку. Накопление и передача научных методических знаний
возможны благодаря тому, что эти знания кристаллизуются в кон­цепциях, закономерностях, методических теориях и фиксируются в научной литературе, учебных и методических пособиях, которые читают будущие педагоги, что позволяет им приходить даже на пер­вую в своей жизни практику с достаточно большим багажом обоб­щенных методических знаний.

4. Житейские знания о методах и приемах обучения получают
обычно путем наблюдений и размышлений. В научной же деятель­ности к этим методам добавляется методический эксперимент. Суть экспериментального метода состоит в том, что педагог не ждет стечения обстоятельств, в результате которого возникает интере­сующее его явление, а вызывает явление сам, создавая соответст­вующие условия. Затем он целенаправленно варьирует эти усло­вия, чтобы выявить закономерности, которым данное явление
подчиняется. Так рождается любая новая методическая концеп­ция или методическая закономерность. Можно говорить о том, что при создании новой методической концепции, каждый урок становится таким методическим экспериментом.

5. Научное методическое знание намного обширнее, разнообразнее, чем житейское; оно обладает уникальным фактическим материалом, недоступным в своем объеме ни одному носителю житейских мето­дических знаний. Материал этот накапливается и осмысливается в отдельных разделах методики, например: методика обучения реше­нию задач, методика формирования понятия о натуральном числе, методика формирования представлений о дробях, методика формиро­вания представлений о величинах и т. д., а также в отдельных отрас­лях методической науки, например: обучение математике в группах коррекции задержки психического развития, обучение математике в группах компенсации (слабовидящих, слабослышащих и др.), обучение математике детей с умственной отсталостью, обучение спо­собных к математике школьников и т. д.

Разработка специальных отраслей методики обучения матема­тике детей младшего возраста сама по себе является эффективней­шим методом общей дидактики обучения математики. Л.С. Выготский начинал работать с умственно отсталыми детьми - и в результате сформировалась теория «зон ближайшего развития», которая лег­ла в основу теории развивающего обучения всех детей, в том числе и для обучения математике.

Не следует думать, однако, житейские методические знания яв­ляются вещью ненужной или вредной. «Золотая середина» состоит в том, чтобы видеть в малых фактах отражение общих принципов, а о том, как переходить от общих принципов к реальным жизненным проблемам, не написано ни в одной книге. Только постоянное внима­ние к этим переходам, постоянное упражнение в них может сформи­ровать у педагога то, что называют «методической интуицией». Опыт показывает, что чем больше житейских методических знаний при этом имеется у педагога, тем больше вероятность формирования этой ин­туиции, особенно, если этот богатый житейский методический опыт постоянно сопровождается научным анализом и осмыслением.

Методика обучения математике младших школьников - это прикладная область знания (прикладная наука). Как наука она создавалась для усовершенствования практической деятельности педагогов, работающих с детьми младшего школьного возраста. Вы­ше уже отмечалось, что методика математического развития как наука делает фактически свои первые шаги, хотя методика обучения математике имеет тысячелетнюю историю. На сегодня нет ни одной программы начального (и дошкольного) образова­ния, которая обходится без математики. Но до недавнего времени речь шла только об обучении детей младшего возраста элементам арифметики, алгебры и геометрии. И лишь в последнее двадцати­летие XX в. стали говорить о новом методическом направлении - теории и практике математического развития ребенка.

Это направление стало возможно в связи со становлением тео­рии развивающего обучения ребенка младшего возраста. Данное направление в традиционной методике обучения математике, по-прежнему, является дискуссионным. Далеко не все педагоги сего­дня стоят на позициях необходимости реализации развивающего обучения в процессе обучения математике, целью которого явля­ется не столько формирование у ребенка определенного списка зна­ний, умений и навыков предметного характера, сколько развитие высших психических функций, его способностей и раскрытие внут­реннего потенциала ребенка.

Для прогрессивно мыслящего педагога очевидно, что практичес­кие результаты от развития данного методического направления должны стать несоизмеримо значительнее результатов просто ме­тодики обучения начальным математическим знаниям и умениям детей младшего школьного возраста, кроме того они должны быть качественно другими. Ведь познать нечто - значит овладеть этим «нечто», научиться им управлять.

Научиться управлять процессом математического развития (т. е. развитием математического стиля мышления) - задача, конечно, грандиозная, не решаемая в одночасье. Методика уже сегодня нако­пила множество фактов, показывающих, что новое знание педагога о сущности и смысле процесса обучения делает его в значительной степени другим: меняет его отношение как к ребенку, так и к содер­жанию обучения, и к методике. Познавая суть процесса математиче­ского развития, педагог меняет свое отношение к образовательному процессу (меняет себя!), к взаимодействию субъектов этого процес­са, к его смыслу и целям. Можно сказать, что методика - это наука, конструирующая педагога как субъекта образовательного взаимодей­ствия. В реальной практической деятельности сегодня это вырази­лось в видоизменениях форм работы с детьми: все больше внимания педагоги уделяют индивидуальной работе, поскольку очевидна обу­словленность результативности процесса усвоения индивидуаль­ными различиями детей. Все больше внимания педагоги уделяют продуктивным методам работы с детьми: поисковым и частично-по­исковым, детскому экспериментированию, эвристической беседе, ор­ганизации на уроках проблемных ситуаций. Дальнейшее развитие этого направления может привести к значительным содержательным видоизменениям программ математического образования младших школьников, поскольку многие психологи и математики в послед­ние десятилетия выражают сомнение в верности традиционного на­полнения программ начальной школы по математике преимущест­венно арифметическим материалом.

Не подлежит сомнению и тот факт, что процесс обучения ребен­ка математике является конструирующим для развития его личности . Процесс обучения любому предметному содержанию на­кладывает свой отпечаток на развитие познавательной сферы ребен­ка. Однако специфика математики как учебного предмета такова, что ее изучение в значительной мере может влиять и на общее личност­ное развитие ребенка. Еще 200 лет назад эту мысль высказал М.В. Ломоносов: «Математика хороша тем, что она ум в порядок при­водит». Формирование системности мыслительных процессов - это лишь одна сторона развития математического стиля мышления. Уг­лубление знаний психологов и методистов о различных сторонах и свойствах математического мышления человека показывает, что многие его важнейшие составляющие фактически совпадают с со­ставляющими такой категории как общие интеллектуальные спо­собности человека - это логичность, широта и гибкость мышления, пространственная подвижность, лаконизм и последовательность и т. д. А такие свойства характера как целеустремленность, упорство в достижении цели, умение организовать себя, «интеллектуальная выносливость», формирующиеся при активных занятиях математи­кой, уже являются личностными характеристиками человека.

На сегодня имеется целый ряд психологических исследований, показывающих, что систематическая и специальным образом ор­ганизованная система занятий математикой активно влияет на фор­мирование и развитие внутреннего плана действий, понижает уровень тревожности ребенка, развивая чувство уверенности и вла­дения ситуацией; повышает уровень развития креативности (твор­ческой активности) и общий уровень умственного развития ре­бенка. Все эти исследования подтверждают мысль о том, что мате­матическое содержание является мощнейшим средством развития интеллекта и средством личностного развития ребенка.

Таким образом, теоретические исследования в области методики математического развития ребенка младшего школьного возраста, преломляясь через комплекс методических приемов и теорию развиваю­щего обучения, реализуются при обучении конкретному математиче­скому содержанию в практической деятельности учителя на уроке.

Новая парадигма образования в РФ характеризуется личностно ориентированным подходом, идеей развивающего обучения, созданием условий для самоорганизации и саморазвития личности, субъектностью образования, направленностью на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств.

В концепции школьного математического образования выделены его основные цели - это обучение учащихся приемам и методам математического познания, формирование у них качеств математического мышления, соответствующих мыслительных способностей и умений. Важность этого направления работы усиливается возрастающим значением и применением математики в различных областях науки, экономики и производства.

Необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности отмечается многими ведущими российскими учеными (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Л.Г. Петерсон и др.). Это обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у ребенка не только интенсивно развиваются все психические функции, но и происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности. Многочисленные факты свидетельствуют, что если соответствующие интеллектуальные или эмоциональные качества по тем или иным причинам не получают должного развития в раннем детстве, то впоследствии преодоление такого рода недостатков оказывается делом трудным, а подчас и невозможным (П.Я. Гальперин, А.В. Запорожец, С.Н. Карпова).

Таким образом, новая парадигма образования, с одной стороны, предполагает максимально возможную индивидуализацию учебно-воспитательного процесса, а с другой - требует разрешения проблемы создания образовательных технологий, обеспечивающих реализацию основных положений Концепции школьного математического образования.

В психологии термин "развитие" понимается как последовательные, прогрессирующие существенные изменения в психике и личности человека, проявляющиеся как определенные новообразования. Положение о возможности и целесообразности обучения, ориентированного на развитие ребенка, было обосновано еще в 1930-е гг. выдающимся российским психологом Л.С. Выготским.

Одну из первых попыток практически реализовать идеи Л.С. Выготского в нашей стране предпринял Л.В. Занков, который в 1950-1960-е гг. разработал принципиально новую систему начального образования, которая нашла большое число последователей. В системе Л.В. Занкова для эффективного развития познавательных способностей учащихся реализуются следующие пять основных принципов: обучение на высоком уровне трудности; ведущая роль теоретических знаний; продвижение вперед быстрым темпом; сознательное участие школьников в учебном процессе; систематическая работа над развитием всех учащихся.

Теоретическое (а не традиционное эмпирическое) знание и мышление, учебную деятельность поставили во главу угла авторы другой теории развивающего образования - Д.Б. Эльконин и В.В. Давыдов. Они считали самым важным изменение позиции ученика в процессе учения. В отличие от традиционного обучения, где ученик является объектом педагогических воздействий учителя, в развивающем обучении создаются условия, при которых он становится субъектом обучения. Сегодня эта теория учебной деятельности признана во всем мире в качестве одной из наиболее перспективных и последовательных в плане реализации известных положений Л.С. Выготского о развивающем и опережающем характере обучения.

В отечественной педагогике, помимо этих двух систем, разработаны концепции развивающего обучения З.И. Калмыковой, Е.Н. Кабановой-Меллер, Г.А. Цукерман, С.А. Смирнова и др. Следует также отметить крайне интересные психологические поиски П.Я. Гальперина и Н.Ф. Талызиной на основе созданной ими теории поэтапного формирования умственных действий. Однако, как отмечает В.А. Тестов , в большинстве из упомянутых педагогических систем развитие ученика по-прежнему является обязанностью учителя, а роль первого сводится к следованию за развивающим воздействием второго.

В русле развивающего обучения появилось много различных программ и средств обучения по математике, как для начальных классов (учебники Э.Н. Александровой, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и т.д.), так и для средней школы (учебники Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, С.М. Решетникова, Л.Н. Шеврина и т.д.). Авторы учебников по-разному понимают развитие личности в процессе изучения математики. Одни делают акцент на развитии наблюдения, мышления и практических действий, другие - на формировании определенных умственных действий, третьи - на создании условий, обеспечивающих становление учебной деятельности, развитие теоретического мышления.

Ясно, что проблема развития математического мышления в обучении математике в школе не может быть решена только за счет совершенствования содержания образования (даже при наличии хороших учебников), так как реализация на практике разных уровней требует от учителя принципиально нового подхода к организации учебной деятельности учащихся на уроке, в домашней и внеклассной работе, позволяющей ему учитывать типологические и индивидуальные особенности обучаемых.

Известно, что младший школьный возраст сенситивен, наиболее благоприятен для развития познавательных психических процессов и интеллекта. Развитие мышления учащихся - одна из основных задач начальной школы. Именно на этой психологической особенности мы сконцентрировали свои усилия, опираясь на психолого-педагогическую концепцию развития мышления Д.Б. Эльконина, положение В.В. Давыдова о переходе от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специально организованной учебной деятельности, на работы Р. Атаханова, Л.К. Максимова, А.А. Столяра, П. - Х. ван Хиле, связанные с выявлением уровней развития математического мышления и их психологических характеристик.

Идея Л.С. Выготского о том, что обучение должно осуществляться в зоне ближайшего развития учащихся, а его эффективность определяется тем, какую зону (большую или маленькую) оно подготавливает, у всех на слуху. На теоретическом (концептуальном) уровне ее разделяют почти во всем мире. Проблема заключается в ее практической реализации: как определить (измерить) эту зону и какова должна быть технология обучения, чтобы процесс познания научных основ и овладения ("присвоения") человеческой культуры проходил именно в ней, обеспечивал максимальный развивающий эффект?

Таким образом, психолого-педагогической наукой обоснована целесообразность математического развития младших школьников, но недостаточно разработаны механизмы ее реализации. Рассмотрение понятия "развитие" как результата обучения с методологических позиций показывает, что это целостный непрерывный процесс, движущей силой которого является разрешение противоречий, возникающих в процессе изменений. Психологи утверждают, что процесс преодоления противоречия создает условия для развития, в результате которого отдельные знания и умения перерастают в новое целостное новообразование, в новую способность. Поэтому проблема построения новой концепции математического развития младших школьников определена противоречиями.

Лекционное занятие Тема: Методика обучения математике младших школьников как учебный предмет.

Цель занятия:

1).Дидактическая:

Достичь усвоения студентами представлений методике обучения математике младших школьников как учебном предмете.

2). Развивающая:

Расширить понятия о методике обучения математике младших школьников. Развивать логическое мышление студентов.

3). Воспитывающая:

Научить студентов осознавать значимость изучения данной темы для будущей профессии.

6.Форма обучения: фронтальная.

7. Методы обучения:

Словесные: объяснение, беседа, опрос.

Практические: самостоятельная работа.

Наглядные: раздаточный материал, учебные пособия.

План занятия:

1. Методика обучения математике младших школь-ников как педагогическая наука и как сфера прак-тической деятельности.
2. Методика обучения математике как учебный предмет. Принципы построения курса математики в начальной школе.
3. Методы обучения математике.

Основные понятия:

Методика обучения математике - это наука о математике как о научном предмете и закономерностях обучения математике учащихся различных возрастных групп, в своих исследованиях данная наука опирается на различные психолого-педагогические, математические основы и обобщения практического опыта работы учителей математиков.

1. Методика обучения математике младших школь-ников как педагогическая наука и как сфера прак-тической деятельности.

Рассматривая методику обучения математике младших школь-ников как науку, необходимо, прежде всего определить ее место в системе наук, очертить круг проблем, которые она призвана ре-шать, определить ее объект, предмет и особенности.

В системе наук методические науки рассматриваются в блоке дидактики. Как известно, дидактика подразделяется на теорию воспитания и теорию обучения. В свою очередь, в теории обуче-ния выделяют общую дидактику (общие вопросы: методы, формы, средства) и частные дидактики (предметные). Частные дидактики и называются по-другому — методики обучения или, как принято в последние годы — образовательные технологии.

Таким образом, методические дисциплины относятся к циклу педагогических, но в то же время, представляют собой сугубо пред-метные области, поскольку методика обучения грамоте, безусловно, очень сильно будет отличаться от методики обучения математике, хотя обе они являются частными дидактиками.

Методика обучения математике младших школьников — очень древняя и очень молодая наука. Обучение счету и вычислениям со-ставляло необходимую часть обучения в древнешумерских и древнеегипетских школах. Об обучении счету рассказывают на-скальные росписи эпохи палеолита. К первым учебным пособиям для обучения детей математике можно отнести «Арифметику» Магниц-кого (1703) и книгу В.А. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» (1910). В 1935 г. С.И. Шохор-Троцким был написан пер-вый учебник «Методика обучения математике». Но лишь в 1955 г, появилась первая книга «Психология обучения арифметике», автор которой Н.А. Менчинская обратилась не столько к характеристике математической специфики предмета, сколько к закономерностям ус-воения арифметического содержания ребенком младшего школьно-го возраста. Таким образом, появлению этой науки в ее современном виде предшествовало не только развитие математики как науки, но и развитие двух больших областей знания: общей дидактики обучения и психологии обучения и развития.

В основе технологии обучения лежит методологическая система значения включает следующих 5 компонентов:

2) цели обучения.

3) средства

Дидактические принципы подразделяются на общие и основные.

При рассмотрении дидактических принципов основные положения определяют содержания организационных форм и методов учебной работы школы. В соответствии с целями воспитания и закономерностей процесса обучения.

Дидактические принципы выражают то общее, что присуще любому учебному предмету и являются ориентиром планирования организации и анализа практического задания.

В методической литературе нет единого подхода выделении систем принципа:

А.Столяр выделяет следующие принципы:

1) научность

3) наглядность

4) активность

5) прочность

6) индивидуальный подход

Ю.К. Бабанский выделяет 5 групп принципов:

2) на отбор задачи обучения

3) на отбор формы обучения

4) выбор методов обучения

5) анализ результатов

В основу развития современного образования заложен принцип непрерывного обучения.

Принципы обучения не являются раз и навсегда установленные, они углубляются и изменяются.

Принцип научности, как дидактический принцип, сформулирован Н.Н. Скаткиным в 1950 году.

Особенность принципа:

Отображает, но не воспроизводит точности системы науки, сохраняя по возможности общие черты присущую им логику, этапность и систему знаний.

Опора к последующим знаниям на предыдущие.

Системная закономерность расположения материала по годам обучения в соответствии с возрастными особенностями и возрастом обучаемых, а также дальнейшие развитии обучающих.

Раскрытие внутренних связей между понятиями закономерностями и связи с другими науками.

В переработанных программах были особо выделены принципы наглядности.

Принцип наглядности обеспечивает переход от живого созерцания првенному мышлению. Наглядность делает его более доступным, конкретным и интересным, развивает наблюдательность и мышление, обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, способствует развитию абстрактного мышления.

Чрезмерное употребление наглядности может привести к нежелательным результатам.

Виды наглядности:

натуральная (модели, раздаточный материал)

изобразительная наглядность (рисунки, фото и т.д)

символическая наглядность (схемы, таблицы, чертежи, диаграммы)

2. Методика обучения математике как учебный предмет. Принципы построения курса математики в начальной школе.

Методика преподавания математики (МПМ) - наука, предметом которой является обучение математике, причём в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школой.

МПМ развивается на базе определённой психологической теории обучения, т.е. МПМ представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в МПМ должна отражаться специфика предмета обучения - математики.

Цели начального обучения математике: общеобразовательные (овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов в соответствии с программой), воспитательные (формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду), развивающие (развитие логических структур и математического стиля мышления), практические (формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).

Взаимосвязь учителя и ученика происходит в виде передачи информации в двух противоположных направлениях: от учителя к ученику (прямая), от учения к учителю (обратная).

Принципы построения математики в начальной школе (Л.В. Занков): 1) обучение на высоком уровне трудности; 2) обучение быстрым темпом; 3) ведущая роль теории; 4) осознание процесса учения; 5) целенаправленная и систематическая работа.

Учебная задача - ключевой момент. С одной стороны она отражает общие цели обучения, конкретизирует познавательные мотивы. С другой стороны позволяет сделать осмысленным сам процесс выполнения учебных действий.

Этапы теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин): 1) предварительное ознакомление с целью действия; 2) составление ориентировочной основы действия; 3) выполнение действия в материальном виде; 4) проговаривание действия; 5) автоматизация действия; 6) выполнение действия в умственном плане.

Приёмы укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев): 1) одновременное изучение сходных понятий; 2) одновременное изучение взаимообратных действий; 3) преобразование математических упражнений; 4) составление задач учащимися; 5) деформированные примеры.

3.Методы обучения математики.

Вопрос о методах начального обучения математике и их классификации всегда служил предметом внимания со стороны методистов. В большинстве современных методических руководств этой проблеме посвящаются специальные главы, в которых раскрываются основные черты отдельных методов и, показываются условия их практического применения в процессе обучения.

Начальный курс математики состоит из нескольких разделов, разных по своему содержанию. Сюда входит: решение задач; изучение арифметических действий и формирование вычислительных навыков; изучение мер и формирование измерительных навыков; изучение геометрического материала и развитие пространственных представлений. Каждый из этих разделов, имея свое особое содержание, имеет в то же время и свою, частную, методику, свои методы, которые находятся в соответствии со спецификой содержания и формой учебных занятий.

Так, в методике обучения детей решению задач на первый план выдвигается в качестве методического приема логический разбор условия задачи с использованием анализа, синтеза, сравнения, абстрагирования, обобщение и т.д.

Но при изучении мер и геометрического материала на первый план выступает иной метод — лабораторный, для которого характерно сочетание умственной работы с физической. В нем соединяются наблюдения и сопоставления с измерениями, черчением, вырезыванием, моделированием и др.

Изучение же арифметических действий происходит на основе использования методов и приемов, свойственных только этому разделу и отличных от методов, используемых в других разделах математики.

Поэтому, разрабатывая методы обучения математике , нужно учитывать психолого-дидактические закономерности общего характера, которые проявляются в общих методах и принципах, имеющих отношение к курсу в целом.

Важнейшей задачей школы на современном этапе ее развития является повышение качества обучения. Проблема эта сложная и многоаспектная. В процессе сегодняшнего занятия, наше внимание будет сосредоточено на методах обучения, как на одном из важнейших звеньев совершенствования процесса обучения.

Методы обучения — это способы совместной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение задач обучения.

Метод обучения представляет собой систему целенаправленных действий учителя, организующих познавательную и практическую деятельность учащегося, обеспечивающую усвоение им содержания образования.

Ильина: «Метод- это способ с помощью которого учитель руководит познавательной деятельностью учителя» (отсутствует ученик как объект деятельности или учебного процесса)

Метод обучения- это способ передачи знаний и организации познавательной практической деятельности учащихся при котором обучаемые овладевают ЗУН, при этом развивают их способность и формируя их научное мировоззрение.

В настоящее время ведутся интенсивные попытки классификации методов обучения. Она имеет большое значение для приведения всех известных методов в определенную систему и порядок, выявления их общих черт и особенностей.

Наиболее распространенной является классификация методов обучения

- по источникам получения знаний;

- по дидактическим целям;

- по уровню активности учащихся;

- по характеру познавательной деятельности учащихся.

Выбор методов обучения обуславливается рядом факторов: задачами школы на современном этапе развития, учебным предметом, содержанием изучаемого материала, возрастам и уровнем развития учащихся, а также уровнем готовности их к овладению учебным материалом.

Рассмотрим более подробно каждую классификацию и присущие ей цели.

В классификации методов обучения по дидактической цели выделяют:

Методы приобретения новых знаний;

Методы формирования умений и навыков;

Методы закрепления и проверки знаний, умений, навыков.

Часто в ознакомлении учащихся с новыми знаниями используется метод рассказа.

В методике математики этот метод принято называть - методом изложения знаний.

Наряду с этим методом самое широкое распространение получил метод беседы . В ходе беседы учитель ставит перед учащимися вопросы, ответы на которые предполагают использование уже имеющихся знаний. Опираясь на имеющиеся знание, наблюдения, прошлый опыт, учитель постепенно ведет учащихся к новым знаниям.

На следующем этапе, этапе формирования умений и навыков применяются практические методы обучения . К ним относятся упражнения, практические и лабораторные методы, работа с книгой.

Закреплению новых знаний, формированию умений и навыков, их совершенствованию способствует метод самостоятельной работы. Нередко, используя этот метод, учитель так организует деятельность учащихся, что новые теоретические знания ученики приобретают самостоятельно и могут применять их в аналогичной ситуации.

Следующая классификация методов обучения по уровню активности учащихся - одна из ранних классификаций. Согласно этой классификации методы обучения делятся на пассивные и активные в зависимости от степени включенности учащегося в учебную деятельности.

К пассивным относятся методы, при которых учащиеся только слушают и смотрят (рассказ, объяснение, экскурсия, демонстрация, наблюдение).

К активным - методы, организующие самостоятельную работу учащихся (лабораторный метод, практический метод, работа с книгой).

Рассмотрим следующую классификацию методов обучения по источнику получения знаний. Эта классификация получила наиболее широкое распространение, что связано с её простотой.

Существует три источника знаний: слово, наглядность, практика. Соответственно выделяют

- словесные методы (источником знания является устное или печатное слово);

- наглядные методы (источниками знания являются наблюдаемые предметы, явления, наглядные пособия);

- практические методы (знания и умения формируются в процессе выполнения практических действий).

Остановимся более подробно на каждой из этих категорий

Словесные методы занимают центральное место в системе методов обучения.

К словесным методам относятся рассказ, объяснение, беседа, дискуссия.

Вторую группу по этой классификации составляют наглядные методы обучения.

Наглядные методы обучения- это такие методы при которых усвоение учебного материала находится в существенной зависимости от применяемых наглядных пособий.

Практические методы обучения основаны на практической деятельности учащихся. Главное назначение этой группы методов - формирование практических умений и навыков.

К практическим методам относятся упражнения, практические и лабораторные работы.

Следующая классификация, это методы обучения по характеру познавательной деятельности учащихся.

Характер познавательной деятельности - это уровень мыслительной активности учащихся.

Выделяют следующие методы:

Объяснительно-иллюстративные;

Методы проблемного изложения;

Частично-поисковые (эвристические);

Исследовательские.

Объяснительно-иллюстративный метод. Его сущность состоит в том, что преподаватель разными средствами сообщает готовую информацию, а учащиеся ее воспринимают, осознают и фиксируют в памяти.

Сообщение информации учитель осуществляет с помощью устного слова (рассказ, беседа, объяснение, лекция), печатного слова (учебник, дополнительные пособия), наглядных средств (таблицы, схемы, картины, кино и диафильмы), практического показа способов деятельности (показ опыта, работы на станке, способа решения задачи и т.п.).

Репродуктивный метод предполагает, что преподаватель сообщает, объясняет знания в готовом виде, а учащиеся усваивают их и могут воспроизвести, повторить способ деятельности по заданию преподавателя. Критерием усвоения является правильное воспроизведение (репродукция) знаний.

Метод проблемного изложения является переходным от исполнительской к творческой деятельности. Суть метода проблемного изложения заключается в том, что преподаватель ставит проблему и сам ее решает, показывая тем самым ход мысли в процессе познания. Учащиеся при этом следят за логикой изложения, усваивая этапы решения целостных проблем. В то же время они не только воспринимают, осознают и запоминают готовые знания, выводы, но и следят за логикой доказательств, за движением мысли преподавателя.

Более высокий уровень познавательной деятельности несет в себе частично поисковый (эвристический) метод .

Метод получил название частично поискового потому, что учащиеся самостоятельно решают сложную учебную проблему не от начала и до конца, а лишь частично. Преподаватель привлекает учащихся к выполнению отдельных шагов поиска. Часть знаний сообщает преподаватель, часть учащиеся добывают самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы или разрешая проблемные задания. Учебная деятельность развивается по схеме: преподаватель - учащиеся - преподаватель - учащиеся и т.д.

Таким образом, сущность частично поискового метода обучения сводится к тому, что:

Не все знания учащимся предлагаются в готовом виде, их частично нужно добывать самостоятельно;

Деятельность преподавателя заключается в оперативном управлении процессом решения проблемных задач.

Одной из модификаций данного метода является эвристическая беседа.

Сущность эвристической беседы состоит в том, что учитель путем постановки перед учащимися определенных вопросов и совместных с ними логических рассуждений подводит их к определенным выводам, составляющим сущность рассматриваемых явлений, процессов, правил, т.е. учащиеся путём логических рассуждений, по направлению учителя, делают «открытие». При этом учитель побуждает учащихся воспроизводить и использовать имеющиеся у них теоретические и практические познания, производственный опыт, сравнивать, сопоставлять, делать умозаключения.

Следующим методом в классификации по характеру познавательной деятельности учащихся, является исследовательский метод обучения. Он предусматривает творческое усвоение учащимися знаний. Сущность его состоит в следующем:

Преподаватель вместе с учащимися формулирует проблему;

Учащиеся самостоятельно ее разрешают;

Преподаватель оказывает помощь лишь при возникновении затруднений в решении проблемы.

Таким образом, исследовательский метод используется не только для обобщения знаний, но главным образом для того, чтобы ученик научился приобретать знания, исследовать предмет или явление, делать выводы и применять добытые знания и навыки в жизни. Его сущность сводится к организации поисковой, творческой деятельности учащихся по решению новых для них проблем.

1. Домашнее задание:

Подготовиться к практическому занятию

Проблема формирования и развития математических способностей младших школьников актуальна в настоящее время, но, в то же время ей уделяется недостаточное внимание среди проблем педагогики. Математические способности относятся к специальным способностям, которые проявляются только в отдельном виде человеческой деятельности.

Часто преподаватели пытаются понять, почему дети, обучающиеся в одной и той же школе, у одних и тех же учителей, в одном и том же классе, достигают разных успехов в освоении этой дисциплиной. Ученые объясняют это наличием или отсутствием тех или иных способностей.

Способности формируются и развиваются в процессе обучения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать и совершенствовать способности детей. В период с 3-4 лет до 8-9 лет происходит бурное развитие интеллекта. Поэтому в период младшего школьного возраста возможности развития способностей наиболее высокие. Под развитием математических способностей младшего школьника понимается целенаправленное дидактически и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных свойств и качеств математического стиля мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.

Первое место среди академических предметов, которые представляют собой особую трудность в учении, отводится математике, как одной из абстрактных наук. Для детей младшего школьного возраста чрезвычайно сложно воспринимать данную науку. Объяснение этому можно найти в трудах Л.С. Выготского. Он утверждал, что для того, «чтобы понять значение слова, нужно создать вокруг него смысловое поле. Для построения смыслового поля должна быть осуществлена проекция значения в реальную ситуацию». Из этого следует, что математика сложна, т. к. является абстрактной наукой, например, невозможно перенести в реальность числовой ряд, ведь его в природе не существует.

Из вышесказанного следует, что нужно развивать способности ребенка, при этом подходить к этой проблеме нужно индивидуально.

Проблему математических способностей рассматривали следующие авторы: Крутецкий В.А. «Психология математических способностей», Лейтес Н.С. «Возрастная одаренность и индивидуальные различия», Леонтьев А.Н. «Глава о способностях», Зак З.А. «Развитие интеллектуальных способностей у детей» и другие.

На сегодняшний день проблема развития математических способностей младших школьников - одна из наименее разработанных проблем, как методических, так и научных. Это определяет актуальность данной работы.

Цель данной работы : систематизация научных точек зрения по данной проблеме и выявление прямых и косвенных факторов, влияющих на развитие математических способностей.

При написании данной работы ставились следующие задачи :

1. Изучение психолого-педагогической литературы с целью выяснения сущности понятия способности в широком смысле слова, и понятия математические способности в узком смысле.

2. Анализ психолого-педагогической литературы, материалы периодической печати, посвященных проблеме исследования математических способностей в историческом развитии и на современном этапе.

Глава I . Сущность понятия способности.

1.1 Общее понятие способностей.

Проблема способностей является одной из наиболее сложных и наименее разработанных в психологии. Рассматривая её, прежде всего, следует учесть, что реальным предметом психологического исследования является деятельность и поведение человека. Нет сомнений, что источником понятия о способностях является бесспорный факт различия людей по количеству и качеству продуктивности их деятельности. Многообразие видов деятельности человека и количественно-качественная разница продуктивности позволяет различать виды и степени способностей. О человеке, делающем что-либо хорошо и быстро, говорят как о способном к этому делу. Суждение о способностях имеет всегда сравнительный характер, то есть основывается на сопоставлении продуктивности, умении одного человека с умением других. Критерием способности является уровень (результат) деятельности, которого одним удаётся достигнуть, а другим нет. История общественного и индивидуального развития учит, что всякое искусное умение достигается в результате более или менее напряжённой работы, различных, иногда гигантских, «сверхчеловеческих» усилий. С другой стороны, одни достигают высокого владения деятельностью, умения и умелости при меньшей затрате сил и быстрее, другие не выходят за пределы средних достижений, третьи оказываются ниже и этого уровня, даже если они усердно стараются, учатся и имеют благоприятные внешние условия. Именно представителей первой группы называют способными.

Способности человека, разные их типы и степени, относятся к важнейшим и сложнейшим проблемам психологии. Однако, научная разработка вопроса о способностях ещё недостаточна. Поэтому в психологии не существует единого определения способностей.

В.Г. Белинский понимал под способностями потенциальные природные силы личности, или её возможности.

По Б.М. Теплову, способности - это индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого.

С.Л. Рубинштейн понимает под способностями пригодность к определённой деятельности.

Психологический словарь определяет способность как качество, возможность, умение, опыт, мастерство, талант. Способности позволяют совершать определённые действия в заданное время.

Способность - это готовность индивида к выполнению какого-либо действия; годность - имеющийся потенциал для выполнения какой-либо деятельности или возможность достичь определённого уровня развития способности.

На основе изложенного, можно дать общее определение способностей:

Способность представляет собой выражение соответствия между требованиями деятельности и комплексом нервно-психологических свойств человека, обеспечивающим высокую качественно-количественную продуктивность и рост его деятельности, которое проявляется в высокой и быстро растущей (по сравнению со средним человеком) умелости овладевать этой деятельностью и владеть ею.

1.2 Проблема развития понятия математических способностей за рубежом и в России.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Исследование математических способностей следует начинать с определения предмета исследования. Единственное, в чем сходятся все исследователи, это мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Еще в 1918 г. в работе Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В соответствии с этим автор построил известную систему математических тестов.

Известный психолог Ревеш в книге «Талант и гений», изданной в 1952 году, рассматривает две основные формы математических способностей - аппликативную (как способность быстро обнаруживать математические отношения без предварительных проб и применять соответствующие знания в аналогичных случаях) и продуктивную (как способность открывать отношения, непосредственно не вытекающие из имеющихся знаний).

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого - математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. Такова, например, точка зрения математиков, интересовавшихся вопросами математического творчества, - Пуанкаре и Адамара. О врожденности математического таланта писал и Бетц, подчеркивавший, что речь идет о способности самостоятельно открывать математические истины, «ибо понять чужую мысль могут, вероятно, все». Тезис о врожденной и наследственной природе математического таланта усиленно пропагандировал Ревеш.

В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи не высказываются столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды. До недавних пор и в отношении школьных математических способностей господствовали идеи врожденности.

Еще в 1909-1910 гг. Стоун и независимо от него Куртис, изучая достижения в арифметике и способности к этому предмету, пришли к выводу о том, что едва ли можно говорить о математических способностях как об едином целом, даже в отношении арифметики. Стоун указал на то, что дети, искусные в вычислениях, часто отстают в области арифметических рассуждений. Куртис также показал, что возможно совмещение успешности ребенка в одной отрасли арифметики и его неуспешности - в другой. Отсюда они оба делали вывод, что каждая операция требует своей особой и относительно независимой способности. Некоторое время спустя аналогичное исследование провел Дейвис и пришел к таким же выводам.

Одним из значительных исследований математических способностей надо признать исследование шведского психолога Ингвара Верделина в его книге «Математические способности». Основной замысел автора заключался в том, чтобы, основываясь на мультифакторной теории интеллекта, проанализировать структуру математических способностей школьников, выявить относительную роль в этой структуре каждого из факторов. Верделин принимает, как отправное следующее определение математических способностей: «Математическая способность - это способность понимать сущность математических (и подобных им) систем, символов, методов и доказательств, заучивать, удерживать их в памяти и репродуцировать, комбинировать их с другими системами, символами, методами и доказательствами, использовать их при решении математических (и подобных им) задач». Автор разбирает вопрос о сравнительной ценности и объективности измерения математических способностей учебными отметками учителей и специальными тестами и отмечает, что школьные отметки ненадежны, субъективны и далеки от настоящего измерения способностей.

Большой вклад в исследование математических способностей внес известный американский психолог Торндайк. В работе «Психология алгебры» он дает массу всевозможных алгебраических тестов для определения и измерения способностей.

Митчелл в своей книге о природе математического мышления перечисляет несколько процессов, которые, по его мнению, характеризуют математическое мышление, в частности:

1. классификация;

2. способность понимать и использовать символы;

3. дедукция;

4. манипулирование с идеями и понятиями в абстрактной форме, без опоры на конкретное.

Браун и Джонсон в статье «Пути выявления и воспитания учащихся с потенциями в науках» указывают, что учителя-практики вычленили те особенности, которые характеризуют учащихся с потенциями в математике, а именно:

1. экстраординарная память;

2. интеллектуальная любознательность;

3. способность к абстрактному мышлению;

4. способность применять знания в новой ситуации;

5. способность быстро «видеть» ответ при решении задач.

Заключая обзор работ зарубежных психологов, следует заметить, что они не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. К тому же надо еще иметь в виду, что в одних работах данные получены мало объективным интроспективным методом, а другие характеризуются чисто количественным подходом при игнорировании качественных особенностей мышления. Обобщая результаты всех упомянутых выше исследований, мы получим самые общие характеристики математического мышления, такие, как способность к абстракции, способность к логическому рассуждению, хорошая память, способность к пространственным представлениям и т.д.

В русской педагогике и психологии лишь отдельные работы посвящены психологи способностей вообще и психологии математических способностей в частности. Необходимо упомянуть оригинальную статью Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления». Автор писал статью с идеалистических позиций, придавая, например, особое значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу». Математик не осознает каждого шага своей мысли «внезапное появление в сознании готового решения какой-либо задачи, которую мы не могли долго решить, - пишет автор, - мы объясняем бессознательным мышлением, которое … продолжало заниматься задачей, … а результат всплывает за порог сознания».

Автор отмечает специфические характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуща даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть разница.

Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит, в частности:

1. «сильную память», оговаривалось, что имеется в виду «математическая память», память на «предмет того типа, с которым имеет дело математика»;

2. «остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить уже в известном сходное с данным;

3. быстроту мысли (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в пользу сознательному).

Д. Мордухай-Болтовский высказывает также свои соображения по поводу типов математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков - «»геометров» и «алгебраистов». «Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прерывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут выражать так, как геометр». Он же высказал ценные мысли об особенностях памяти «геометров» и «алгебраистов».

Теория способностей создавалась на протяжении долгого времени совместным трудом виднейших психологов того времени: Б. М. Теплов, Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, Б.Г. Анафьев и другие.

Помимо общетеоретических исследований проблемы способностей, Б.М.Теплов своей монографией «Психология музыкальных способностей» положил начало экспериментальному анализу структуры способностей к конкретным видам деятельности. Значение этой работы выходит за рамки узкого вопроса о сущности и структуре музыкальных способностей, в ней нашли решение основные, принципиальные вопросы исследования проблемы способностей к конкретным видам деятельности.

За этой работой последовали аналогичные по идее исследования способностей: к изобразительной деятельности - В.И. Киреенко и Е.И. Игнатов, литературных способностей - А.Г. Ковалев, педагогических способностей - Н.В. Кузьмина и Ф.Н. Гоноболин, конструктивно-технических способностей - П.М. Якобсон, Н.Д. Левитов, В.Н. Колбановский и математических способностей - В.А. Крутецкий.

Ряд экспериментальных исследований мышления был проведен под руководством А.Н. Леонтьева. Выяснились некоторые вопросы творческого мышления, в частности, как человек приходит к идее решения задачи, способ решения которой прямо не вытекает из ее условия. Была установлена интересная закономерность: эффективность упражнений приводящих к правильному решению, различна в зависимости от того, на какой стадии решения основной задачи предъявляются вспомогательные упражнения, т. е. была показана роль наводящих упражнений.

Прямое отношение к проблеме способностей имеет серия исследований Л.Н. Ланды. В одной из первых работ этой серии - «О некоторых недостатках изучения мышления учащихся» - он ставит вопрос о необходимости раскрыть психологическую природу, внутренний механизм «умения думать». Воспитывать способности, по мнению Л.Н. Ланды, значит «обучить технике мышления», сформировать умения и навыки аналитико-синтетической деятельности. В другой своей работе - «Некоторые данные о развитие умственных способностей» - Л. Н. Ланда обнаружил существенные индивидуальные различия в усвоении школьниками нового для них метода рассуждения при решении геометрических задач на доказательство - различия в количестве упражнений, необходимых для овладения этим методом, различия в темпе работы, различия в формировании способности дифференцированного применения операций в зависимости от характера условия задачи и различия в усвоении операций.

Большое значение для теории умственных способностей вообще и математических способностей в частности имеют исследования Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, А.В. Скрипченко.

Обычно считается, что мышление детей 7-10 лет имеет образный характер, отличается малой способностью к отвлечению и абстрагированию. Опытное обучение, осуществляемое под руководством Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, показало, что уже в первом классе при специальной методике обучения, возможно дать ученикам в буквенной символике, т. е. в общем виде, систему знаний об отношениях величин, зависимостях между ними, ввести их в область формально знаковых операций. А.В. Скрипченко показал, что у учеников третьих - четвертых классов при соответствующих условиях можно сформировать умение решать арифметические задачи путем составления уравнения с одним неизвестным.

1.3 Математические способности и личность

Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а, следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности.

В школе нередко встречаются такие случаи: способный к математике ученик мало интересуется ею, и не проявляет особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у него интерес к математике и склонность заниматься ею, то такой ученик, «захваченный» математикой, может быстро добиться больших успехов.

Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Примером может служить то, что ребенок, способный обобщать и систематизировать материал по литературе, не проявляет подобные способности в области математики.

К сожалению, учителя подчас забывают, что общие по своей природе умственные способности, в ряде случаев выступают как специфические способности. Многим преподавателям свойственно применять объективную оценку, т. е. если ученик слабый по чтению, то он в принципе не может достичь высот в области математики. Такое мнение свойственно для учителей начальных классов, которые ведут комплекс предметов. Это ведет к неправильной оценке способностей ребенка, что, в свое очередь, ведет к отставанию в математике.

1.4 Развитие математических способностей у младших школьников.

Проблема способностей - это проблема индивидуальных различий. При самой лучшей организации методики обучения ученик будет успешнее и быстрее продвигаться в какой-нибудь одной области, чем в другой.

Естественно, что успех в учении определяется не только одними способностями школьника. В этом смысле имеет ведущее значение содержание и методы обучения, а также отношение ученика к предмету. Поэтому успешность и не успешность в обучении не всегда дают основания для суждений о характере имеющихся у школьника способностей.

Наличие слабых способностей у учащихся не освобождает учителя от необходимости, насколько возможно, развивать способности этих учащихся в данной области. Вместе с тем стоит не менее важная задача - всемерно развивать его способности в той области, в которой он проявляет их.

Нужно воспитывать способных и отбирать способных, при этом не забывая обо всех школьниках, всемерно поднимать общий уровень их подготовки. В связи с этим в своей работе нужно различные коллективные и индивидуальные методы работы, чтобы таким образом активизировать деятельность учащихся.

Процесс обучения должен носить комплексный характер как в плане организации самого процесса обучения, так в плане формирования у учащихся глубокого интереса к математике, умений и навыков решения задач, понимания системы математических знаний, решение с учащимися особой системы нестандартных задач, которые должны предлагаться не только на уроках, но и на контрольных работах. Таким образом, особая организация подачи учебного материала, хорошо продуманная система задач, способствуют увеличению роли содержательных мотивов изучения математики. Уменьшается число учащихся с ориентацией на результат.

На уроке должны всячески поощряться не просто решения задач, а необычность применяемого учащимися способа решения задач, в связи с этим особое значение возлагается не только на результат в ходе решения задачи, но красоту и рациональность способа.

Преподаватели успешно используют методику "составления задач" для определения направленности мотивации. Каждая задача оценивается по системе следующих показателей: характер задачи, ее правильность и отношение к исходному тексту. Этот же метод иногда используется вином варианте: после решения задачи учащимся предлагалось составить любые задачи, как-то связанные с исходной задачей.

Для создания психо-педагогических условий повышения эффективности организации системы процесса обучения используется принцип организации процесса обучения в форме предметного общения с использованием кооперативных форм работы учащихся. Это групповое решение задач и коллективное обсуждение выставления оценок, парная и бригадная формы работы.

Глава II. Развитие математических способностей у младших школьников как методическая проблема.

2.1 Общие особенности способных и талантливых детей

Проблема развития математических способностей детей — одна из наименее разработанных на сегодня методических проблем обучения математике в начальных классах.

Крайняя разнородность взглядов на само понятие математические способности обусловливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обоснованных методик, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей. Возможно, именно поэтому не только среди родителей, но и среди учителей распространено мнение: математические способности либо даны, либо не даны. И тут уж ничего не поделаешь.

Безусловно, способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однако на сегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей.

Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умений применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.

Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) ребенка имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения, за успешностью (или неуспешностью) учебной деятельности часто скрываются те природные динамические особенности, о которых говорилось выше. Нередко они порождают и различия в знаниях — их глубине, прочности, обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся (наряду с ценностными ориентациями, убеждениями, навыками) к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей.

Индивидуальность и одаренность — понятия взаимосвязанные. Исследователи, занимающиеся проблемой математических способностей, проблемой формирования и развития математического мышления, при всем различии мнений, отмечают прежде всего специфические особенности психики математически способного ребенка (а также профессионального математика), в частности, гибкость мышления, т.е. нешаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и находить новые способы решения проблемы при измененных условиях. Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия.

Исследователи выделяют такое понятие, как глубина мышления, т.е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, умение видеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале, а также целенаправленность мышления, сочетающаяся с широтой, т.е. способностью к формированию обобщенных способов действий, умением охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает, что в их основе должна лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация и большой объем внимания.

Таким образом, индивидуально типологические особенности личности каждого ученика в отдельности, под коими понимается и темперамент, и характер, и задатки, и соматическая организация личности в целом и т.д., оказывают существенное (а может быть, даже определяющее!) влияние на формирование и развитие математического стиля мышления ребенка, который, безусловно, является необходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка в математике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математические способности.

Опытные учителя-предметники знают, что математические способности — это «товар штучный», и если не заниматься таким ребенком индивидуально (индивидуально, а не в рамках кружка или факультатива), то способности могут и не развиться дальше.

Именно поэтому мы часто наблюдаем, как первоклассник с выделяющимися способностями к третьему классу «выравнивается», а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей. Что это? Исследования психологов показывают, что могут быть разные типы возрастного умственного развития:

. «Ранний подъем» (в дошкольном или младшем школьном возрасте) — обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что послужит стартом для становления выдающихся умственных способностей.

При этом факты показывают, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками.

Но может произойти и «выравнивание» со сверстниками. Мы полагаем, что такое «выравнивание» во многом обусловлено отсутствием грамотного и методически активного индивидуального подхода к ребенку в ранний период.

«Замедленный и растянутый подъем», т.е. постепенное накопление интеллекта. Отсутствие ранних достижений в этом случае не означает, что предпосылки больших или выдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным «подъемом» является возраст 16-17 лет, когда фактором «интеллектуального взрыва» служит социальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло. Однако такой «подъем» может произойти и в более зрелые годы.

Для учителя начальных классов наиболее актуальной является проблема «раннего подъема», приходящаяся на возраст 6-9 лет. Не секрет, что один такой ярко-способный ребенок в классе, обладающий к тому же сильным типом нервной системы, способен, в буквальном смысле слова, никому из детей и рта открыть на уроке не дать. И в результате вместо того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького «вундеркинда», учитель вынужден учить его молчать (!) и «держать свои гениальные мысли при себе, пока не спросят». Ведь в классе 25 других детей! Такое «притормаживание», если оно идет систематически, и может привести к тому, что через 3-4 года ребенок «выравнивается» со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе «ранних способностей», то, возможно, именно математически способных детей мы теряем в процессе этого «притормаживания» и «выравнивания».

Психологические исследования показали, что хотя развитие учебных способностей и творческой одаренности у типологически различных детей протекает по-разному, равно высокой степени развития этих способностей могут добиться (достигнуть) дети с противоположными характеристиками нервной системы. В связи с этим учителю, возможно, по лезнее ориентироваться не на типологические особенности нервной системы детей, а на некоторые общие особенности способных и талантливых детей, которые отмечают большинство исследователей этой проблемы.

Разные авторы выделяют разный «комплект» общих особенностей способных детей в рамках тех видов деятельности, в которых эти способности исследовались (математика, музыка, живопись и т.д.). Мы полагаем, что учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности способных детей, которые, как показывает сопоставление ряда специальных психологических и педагогических исследований по этой теме, оказываются едиными для детей с различными видами способностей и одаренности. Исследователи отмечают, что большинству способных детей свойственны:

Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный отклик на любую новую умственную нагрузку. Эти дети не знают, что такое скука — у них всегда есть занятие. Некоторые психологи вообще трактуют эту черту как возрастной фактор одаренности.

Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки, что влечет за собой постоянное повышение уровня достижений. Если этого ребенка не нагружать, то он сам находит себе нагрузку и может сам освоить шахматы, музыкальный инструмент, радиодело и т.д., изучать энциклопедии и справочники, читать специальную литературу и т.д.

Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности. Этот ребенок имеет обо всем свое мнение, упорно отстаивает неограниченную инициативу своей деятельности, обладает высокой (почти всегда адекватной при этом) самооценкой и весьма настойчив в самоутверждении в выбранной области.

Совершенная саморегуляция. Этот ребенок способен на полную мобилизацию сил для достижения цели; способен неоднократно возобновлять умственные усилия, стремясь добиться поставленной цели; имеет как бы «изначальную» установку на преодоление любых трудностей, а неудачи его только заставляют с завидным упорством стремиться их одолеть.

Повышенная работоспособность. Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют этого ребенка, наоборот, он чувствует себя хорошо именно в ситуации наличия проблемы, требующей решения. Чисто инстинктивно он умеет использовать все резервы своей психики и своего мозга, мобилизуя и переключая их в нужный момент.

Хорошо видно, что эти общие процессуальные характеристики деятельности способных детей, признаваемые психологами статистически значимыми, не присущи однозначно какому-то одному типу нервной системы человека. Поэтому педагогически и методически общая тактика и стратегия индивидуального подхода к способному ребенку, очевидно, должна строиться на таких психологических и дидактических принципах, которые обеспечивают учет указанных выше процессуальных характеристик деятельности этих детей.

С педагогической позиции способный ребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя. Инструктивный стиль в противоположность императивному стилю, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений способствует развитию независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями. Столь же очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей. Если учесть при этом необходимость в постоянном усложнении умственной нагрузки, настойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность этих детей, можно с достаточной уверенностью утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются «благополучными» учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития (!), а далеко позади этой зоны! Таким образом, в отношении этих учеников мы (вольно или невольно) постоянно нарушаем нами провозглашаемое кредо, основной принцип развивающего обучения, требующий обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития.

Работа со способными детьми в начальных классах сегодня ничуть не менее «больная» проблема, чем работа с неуспевающими.

Ее меньшая «популярность» в специальных педагогических и методических изданиях объясняется ее меньшей «бросаемостью в глаза», так как двоечник — это вечный источник неприятностей для учителя, а то, что Петина пятерка и вполовину не отражает его возможностей, это знает только учитель (и то не всегда), да Петины родители (если занимаются этим вопросом специально). При этом постоянная «недогрузка» способного ребенка (а норма для всех — это недогрузка для способного ребенка) будет способствовать недостаточной стимуляции развития способностей, не только «неиспользованию» потенциала такого ребенка (см. пункты выше), но и возможному угасанию этих способностей как невостребованных в учебной деятельности (ведущей в этот период жизни ребенка).

Есть и более серьезное и неприятное следствие этого: такому ребенку слишком легко учиться на начальном этапе, в результате у него не формируется в достаточной мере умение преодолевать трудности, не формируется иммунитет к неудачам, чем в большей мере объясняется массовый «обвал» успеваемости таких детей при переходе из начального в среднее звено.

Для того чтобы учитель массовой школы мог успешно справляться с работой со способным ребенком по математике, недостаточно обозначить педагогические и методические аспекты проблемы. Как показала тридцатилетняя практика реализации системы развивающего обучения, для того чтобы эта проблема могла быть решена в условиях обучения в массовой начальной школе, необходимо конкретное и принципиально новое методическое решение, в полном виде представленное учителю.

К сожалению, на сегодняшний день практически отсутствуют специальные методические пособия для учителей начальных классов, предназначенные для работы со способными и одаренными детьми на уроках математики. Мы не можем привести ни одного такого пособия или методической разработки, если не считать разнообразных сборников типа «Математической шкатулки». Для работы со способными и одаренными детьми нужны не занимательные задания, это слишком убогая пища для их ума! Нужна специальная система и специальные «параллельные» к существующим учебные пособия. Отсутствие методического обеспечения индивидуальной работы со способным ребенком по математике приводит к тому, что учителя начальной школы этой работой не занимаются совсем (нельзя считать индивидуальной кружковую или факультативную работу, где группа детей решает с учителем занимательные задания, как правило, не системно подобранные). Можно понять проблемы молодого учителя, у которого не хватает ни времени, ни знаний для подбора и систематизации соответствующих материалов. Но и учитель с опытом не всегда готов к решению такой проблемы. Другим (и, пожалуй, главным!) сдерживающим фактором является здесь наличие единого для всего класса учебного пособия. Работа по единому для всех детей учебному пособию, по единому календарному плану просто не позволяет учителю реализовать требование индивидуализации темпа обучения способного ребенка, а единый для всех детей содержательный объем учебника не позволяет реализовать требование индивидуализации объема учебной нагрузки (не говоря уже о требовании саморегуляции и самостоятельном планировании деятельности).

Мы полагаем, что создание специальных методических материалов по математике для работы со способными детьми — это единственно возможный способ реализации принципа индивидуализации обучения в отношении этих детей в условиях обучения целого класса.

2.2 Методика долгосрочных заданий

Методика использования системы долгосрочных заданий рассматривалась Е.С. Рабунским при организации работы со старшеклассниками в процессе обучения немецкому языку в школе.

В ряде педагогических исследований рассматривалась возможность создания систем таких заданий по различным предметам для учеников старших классов как по усвоению нового материала, так и по устранению пробелов знаний. В ходе исследований отмечено, что абсолютное большинство учеников предпочитает и тот, и другой вид работы выполнять в форме «долгосрочных заданий» или «отсроченной работы». Такой вид организации учебной деятельности, традиционно рекомендуемый главным образом для трудоемких творческих работ (сочинений, рефератов и т.д.), оказался наиболее предпочтительным для большинства опрошенных школьников. Оказалось, что такая «отсроченная работа» удовлетворяет школьника больше, чем отдельные уроки и задания, так как основным критерием удовлетворенности ученика в любом возрасте выступает успешность в работе. Отсутствие резкого временного ограничения (как это бывает на уроке) и возможность свободного многократного возвращения к содержанию работы позволяет справиться с ней гораздо успешнее. Таким образом, задания, рассчитанные на длительную подготовку, можно рассматривать также как средство воспитания положительного отношения к предмету.

Многие годы считалось, что все сказанное относится только к ученикам старшего возраста, но не соответствует особенностям учебной деятельности учеников начальных классов. Анализ процессуальных характеристик деятельности способных детей младшего школьного возраста и опыт работы Белошистой А.В. и учителей, принявших участие в экспериментальной проверке данной методики, показал высокую эффективность предлагаемой системы при работе со способными детьми. Первоначально для разработки системы заданий (в дальнейшем будем именовать их листы в связи с формой их графического оформления, удобной для работы с ребенком) были отобраны темы, связанные с формированием вычислительных навыков, которые традиционно рассматриваются учителями и методистами как темы, требующие постоянного руководства на этапе знакомства и постоянного контроля на этапе закрепления.

В ходе экспериментальной работы было разработано большое количество листов на печатной основе, объединенных в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12-20 листов. Лист представляет собой большую систему заданий (до полусотни заданий), методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их выполнения ученик мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приема, а затем закрепить новый способ деятельности. Лист (или система листов, т.е. тематический блок) представляет собой «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика, работающего по этой системе. Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде задания «с отложенным сроком» исполнения, который учитель либо устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить для себя срок его выполнения (это путь формирования самодисциплины, так как самостоятельное планирование деятельности в связи с самостоятельно определенными целями и сроками — это основа самовоспитания человека).

Тактику работы с листами учитель определяет для ученика индивидуально. На первых порах их можно предлагать ученику в качестве домашнего задания (вместо обычного задания), индивидуально договариваясь о сроках его выполнения (2-4 дня). По мере освоения этой системы, можно перейти к предваряющему или параллельному способу работы, т.е. давать ученику лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке для самостоятельного освоения материала. Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребенок сам решит, когда он хочет получить этот лист), возможно даже освобождение от других уроков в этот или следующий день для концентрации внимания на задании, консультативная помощь (на один вопрос всегда можно ответить сразу, проходя мимо ребенка на уроке) — все это поможет учителю в полной мере сделать процесс обучения способного ребенка индивидуализированным без больших затрат времени.

Не следует заставлять детей переписывать задания с листа. Ученик работает карандашом на листе, записывая ответы или дописывая действия. Такая организация обучения вызывает у ребенка положительные эмоции — ему нравится работать на печатной основе. Избавленный от необходимости утомительного переписывания ребенок работает с большей производительностью. Практика показывает, что хотя листы содержат до полусотни заданий (обычная норма домашнего задания 6-10 примеров), ученик с удовольствием работает с ними. Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному желанию.

В ходе эксперимента такие листы были разработаны по темам: «Устные и письменные вычислительные приемы», «Нумерация», «Величины», «Дроби», «Уравнения».

Методические принципы построения предлагаемой системы:

1. Принцип соответствия программе по математике для начальных классов. Содержательно листы привязаны к стабильной (типовой) программе по математике для начальных классов. Таким образом, реализовать концепцию индивидуализации обучения математике способного ребенка в соответствии с процессуальными особенностями его учебной деятельности мы полагаем возможным при работе по любому учебнику, соответствующему типовой программе.

2. Методически в каждом листе реализован принцип дозированности, т.е. в одном листе вводится только один прием, или одно понятие, или раскрывается одна, но существенная для данного понятия связь. Это, с одной стороны, помогает ребенку четко осознать цель работы, а с другой — помогает учителю легко отслеживать качество усвоения этого приема или понятия.

3. Структурно лист представляет собой подробное методическое решение задачи введения или знакомства и закрепления того или иного приема, понятия, связей этого понятия с другими понятиями. Задания подобраны и сгруппированы (т.е. имеет значение и порядок их размещения на листе) таким образом, чтобы ребенок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему простейших способов действий, и постепенно осваивать новый способ, который на первых шагах полностью раскрыт в более мелких действиях, являющихся основой данного приема. По мере продвижения по листу, эти мелкие действия постепенно компонуются в более крупные блоки. Это позволяет ученику самому освоить прием в целом, что является логическим завершением всей методической «конструкции». Такая структура листа позволяет в полной мере реализовать принцип постепенного нарастания уровня сложности на всех этапах.

4. Такая структура листа позволяет реализовать и принцип доступности, причем в гораздо более глубокой степени, чем это удается сегодня сделать при работе только с учебником, так как систематическое использование листов позволяет усваивать материал в удобном для ученика индивидуальном темпе, который ребенок может регулировать самостоятельно.

5. Система листов (тематический блок) позволяет реализовать принцип перспективности, т.е. постепенное включение ученика в деятельность планирования учебного процесса. Задания, рассчитанные на длительную (отсроченную) подготовку, требуют перспективного планирования. Умение же организовать свой труд, спланировав его на определенный срок, является важнейшим учебным умением.

6. Система листов по теме позволяет также реализовать принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся, причем не на основе дифференциации уровня сложности заданий, а на основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков. Индивидуализированные сроки и способы выполнения заданий позволяют предъявлять всем детям задания одного уровня сложности, соответствующего программным требованиям к норме. Это не означает, что талантливым детям не надо предъявлять требования более высокого уровня. Листы на определенном этапе позволяют таким детям использовать более насыщенный с интеллектуальной точки зрения материал, который в пропедевтическом плане будет знакомить их со следующими математическими понятиями более высокого уровня сложности.

Заключение

Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме формирования и развития математических способностей показывает: все без исключения исследователи (как отечественные, так и зарубежные) связывают её не с содержательной стороной предмета, а с процессуальной стороной мыслительной деятельности.

Таким образом многие педагоги полагают, что развитие математических способностей ребёнка возможно только при наличии существенных природных данных к этому, т.е. наиболее часто в практике обучения считается, что развивать способности нужно только у тех детей, у которых они уже есть. Но опытные исследования Белошистой А.В. показали, что работа над развитием математических способностей необходима в отношении каждого ребёнка, независимо от его природной одарённости. Просто результаты этой работы будут выражаться в разной степени развития этих способностей: для одних детей это будет значительное продвижение в уровне развития математических способностей, для других - коррекция природной недостаточности в их развитии.

Большая трудность для учителя при организации работы над развитием математических способностей состоит в том, что на сегодняшний день отсутствует конкретное и принципиально новое методическое решение, которое может быть представлено учителю в полном виде. Отсутствие методического обеспечения индивидуальной работы со способными детьми приводит к тому, что учителя начальной школы этой работой не занимаются вовсе.

Своей работой мне хотелось привлечь внимание к этой проблеме и подчеркнуть, что индивидуальные особенности каждого одаренного ребёнка - это не только его особенности, но, возможно, и источник его одарённости. А индивидуализация обучения такого ребенка - это не только способ его развития, но и основа его сохранения в статусе «способный, одарённый».

Библиографический список.

1. Белошистая, А.В. Развитие математических способностей школьника как методическая проблема [Текст] / А.В. Белошистая // Начальная школа. - 2003. - №1. - С. 45 - 53

2. Выготский, Л.С. Сборник сочинений в 6 томах (том 3) [Текст] / Л.С. Выготский. - М, 1983. - С. 368

3. Дорофеев, Г.В. Математика и интеллектуальное развитие школьников [Текст] / Г.В. Дорофеев // Мир образования в мире. - 2008. - №1. - С. 68 - 78

4. Зайцева, С.А. Активация математической деятельности младших школьников [Текст] / с.А. Зайцева // Начальное образование. - 2009. - №1.- С. 12 - 19

5. Зак, А.З. Развитие интеллектуальных способностей у детей 8 - 9 лет [Текст] / А.З. Зак. - М.: Новая школа, 1996. - С. 278

6. Крутецкий, В.А. Основы педагогической психологии [Текст] / В.А. Крутецкий - М., 1972. - С. 256

7. Леонтьев, А.Н. Глава о способностях [Текст] /А.Н. Леонтьев // Вопросы психологии. - 2003. - №2. - С.7

8. Мордухай-Болтовской, Д. Философия. Психология. Математика[Текст] / Д. Мордухай-Болтовской. - М., 1988. - С. 560

9. Немов, Р.С. Психология: в 3 книгах (том 1) [Текст] / Р.С. Немов. - М.: ВЛАДОС, 2006. - С. 688

10.Ожегов, С.И. Толковый словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов. - Оникс, 2008. - С. 736

11.Реверш, Ж.. Талант и Гений [Текст] / Ж. Реверш. - М., 1982. - С. 512

12.Теплов, Б.М. Проблема индивидуальных способностей [Текст] / Б.М. Теплов. - М.: АПН РСФСР, 1961. - С. 535

13.Торндайк, Э.Л. Принципы обучения, основанные на психологии [электронный ресурс]. - Режим доступа. - http://metodolog.ru/vigotskiy40.html

14.Психология [Текст]/ под ред. А.А.Крылова. - М.:Наука, 2008. - С.752

15.Шадриков В.Д. Развитие способностей [Текст] / В.Д.Шадриков //Начальная школа. - 2004. - № 5. - с18-25

16.Волков, И.П. Много ли в школе талантов? [Текст] / И.П. Волков. - М.: Знание, 1989. - С.78

17.Дорофеев, Г.В. Способствует ли обучение математике повышению уровня интеллектуального развития школьников? [Текст] /Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 2007. - №4. - С. 24 - 29

18.Истомина, Н.В. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] / Н.В. Истомина. - М.: Академия, 2002. - С. 288

19.Савенков, А.И. Одаренный ребенок в массовой школе [Текст] / под ред. М.А. Ушакова. - М.: Сентябрь, 2001. - С. 201

20.Эльконин, Д.Б. Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников [Текст] / Под ред. В. В. Давыдова, В. П. Зинченко. - М.: Просвещение, 2001. - С. 574