>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций

Взаимное расположение графиков

линейных функций

Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.

Пример 1.

Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:

Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ В 7 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ
«Взаимное расположение графиков линейных функций»

учебник Ш.А.Алимов и др. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение, 2000.

Урок подготовила и провела Кузнецова С.Д.,

учитель математики МКОУ ООШ № 4, г. Красноуфимск

Цель урока: создать условия для получения учащимися новых знаний через проведение исследования, обработку полученных результатов и умение делать выводы.

Задачи :

Предметные: обосновывать, что графиком линейной функции является прямая;

рассмотреть случаи взаимного расположения прямых – графиков линейных функций;

развивать навыки построения прямых по координатам точек; способствовать представлению о взаимном расположении графиков линейных функций, построения их на основе традиционных и инновационных ресурсов.

Метопредметные

Регулятивные: работают по составленному плану, используют наряду с основными и дополнительные средства построения графиков линейных функций. В диалоге с учителем совершенствуют критерии оценки и пользуются ими в ходе оценки и самооценки.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием ЭОР.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявлять положительное отношение к урокам алгебры, широкий интерес к новому учебному материалу, способам решения новых учебных задач, доброжелательное отношение к сверстникам; дают позитивную оценку и самооценку учебной деятельности; анализируют соответствие результатов требованиям конкретной учебной задачи.

Тип урока урок – изучения нового материала Вид урока Урок – исследование

ХОД УРОКА

I . Организационный момент. Приветствие (1 – 2 мин)

II .Актуализация. На прошлом уроке мы с вами познакомились с понятием линейная функция. При изучении нового материала мы всегда опираемся на ранее изученный материал.

Фронтальный опрос + устная работа с целью повторения ранее изученного материала

В ходе подготовки к устной работе приготовьтесь ответить на следующие вопросы:

3) Как называют число k ? Что оно показывает? Как влияет знак коэффициента k

4) Как называется число b ? Что показывает число b ?

Работа в парах (2 – 3 мин.)

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут.

Проверим, насколько вы были внимательны во время устной работы.

Физ. минутка. (работа со слайдами 13,14,15,16)

Учитель просит детей сильно зажмурить глаза, после чего открывает слайд 13 и просит открыть глаза и найти ошибку. Дети находят ошибку, учитель показывает правильный ответ. Опять просит зажмурить глаза, включает следующий слайд и т.д.

Изложение нового материала

1. Цель: Обеспечить целеполагание.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая. Каково взаимное расположение прямых на плоскости? /параллельны, пересекаются, совпадают/

Можно ли применить наш вывод к графикам линейных функций? На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока.

(«»)

Сформулируйте своими словами цель работы на уроке, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться?

/ Каково взаимное расположение графиков линейных функций,

от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Можно ли без построения графиков определить взаимное расположение графиков линейных функций./

Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование k и b .

Цель работы: k и b .

Вывод:

Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями параллельны.

Таким образом, если угловые коэффициенты k прямых y = kx + b одинаковы, а значения b различны, то эти прямые параллельны.

Вывод: видно, что графики двух данных функций совпадают.

Вывод:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые пересекаются.

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые параллельны.

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые совпадают.

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут. Заполнение памятки.

Формирование умений и навыков

Этап первичного закрепления новых знаний.

Задание № 1 . Функции заданы формулами

1) у = -1,5х + 6 2) у = 0,5х + 6 3) у = 0,5х + 4 4)у = 0,5х 5)у = 3 + 1,5х

Выпишите те, из них которые:

1) Параллельны графику функции у = 0,5х + 10 (2,3 и 4)

2) Пересекают график функции у = -1,5х (2,3,4 и 5)

Задание 2 .

Дана линейная функция у = 2,5х – 4. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой

1) параллелен графику данной функции;

2) пересекает график данной функции.

Задание 3 . Найдите лишнюю функцию, ответ обоснуйте

1) у= - 2х + 0,3; у = -2х + 4; у = 3 - 2х; у = х + 1; у = - 2х; у = - 2 ?

2) у = х + 3; у = 2(0,5х + 1,5); у = 3 - х ; у = 3 + х; у = ?

Задание 4 .

1. При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

у = 2 ах + 5 и у = 5 х – 2. (Ответ: а ≠ 2,5)

2. При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

у = 3 ах + 5 и у = 6 х – 2. (Ответ: а = 2)

3. При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

у = 2 ах + 7 и у = 9 х + 7 (Ответ: а = 4,5)

V. Подведение итогов урока, постановка задания на дом.

– Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

– Условие пересечения графиков двух линейных функций?

– При каком условии графики линейных функций параллельны?

– Условие совпадения графиков линейных функций?

VI . Домашнее задание: п. 32, № 610. Рекомендую при построении графиков разных функций применять цветные пасты. Не забывайте делать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений b и k .

VI I . Рефлексия + тест (при наличии времени)

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я узнал….

Сегодня на уроке я научился….

У меня хорошо получилось…

Я хотел бы еще…

«Приложение 1. Памятка»

Памятка

по теме «_____________________________________________»

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида ______________, где x – ______________________,

k – _________________________________________________и

b – _________________________________________________.

Графиком линейной функции является ____________________ .

Если k ___0 х _____________________ .

Если k ___0 , то угол наклона, образованный графиком функции, с положительным направлением оси х _____________________ .

Если k ___0 , то график линейной функции________________ с осью х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ____________________________________.

Зависимость графика линейной функции от k и b

k / b + – 0

Пусть функции заданы формулами y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые _____________________

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые ____________________

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые ______________________

Просмотр содержимого документа
«Приложение 2. Задания для групп на устную работу»

Задание для 1 пары

Выберите линейные функции и выделите букву, стоящую рядом.

При ответе сделайте клик мышью по букве.

1) Р у = – 0,3х + 3; 4) Г у = x – 5x 2 ; 7) Х у = х 3 – 5;

2) Я у = – 8 + x ; 5) Ш у = x 2 + 1; 8) П у = 205x + 3;

3) А у = – 4 – 7х ; 6) М у = 4 – 6x ; 9) Я у = 0,5x.

Ответьте на вопросы устно

1) Какая функция называется линейной?

2) Что является графиком линейной функции?

__________________________________________________________________

Задание для 2 пары Заполните таблицу

Ответьте на вопросы устно

Как называют число k ? Как называется число b ?

_____________________________________________________________________

Задание для 3 пары

Задание для 4 пары

______________________________________________________________________

Задание для 5 пары

Задание для 6 пары

Задание для 7 пары

Что представляет собой график линейной функции, если угловой коэффициент равен 0?

Просмотр содержимого документа
«Приложение 3. Инстукция к лабораторной работе»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод:

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

1)В одной системе координат постройте графики у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что видно, что графики двух данных функций _______________________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Просмотр содержимого документа
«Приложение 4. Построение графиков»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

у = х – 2 и у = х + 1.

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

В одной системе координат построить графики функций у = х – 2 и у = х + 1.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Гимназия №1 имени Ризы Фахретдина" г. Альметьевск Республики Татарстан, ул. Ленина,124

Урок математики в 7 классе по теме

«Взаимное расположение графиков линейных функций»

учитель математики высшей категории

Закирова Миннур Анваровна

г.Альметьевск, 2016 год

Пояснительная записка

Урок « Взаимное расположение графиков линейных функций» - это урок изучения новых знаний. Урок предназначен для учащихся 7 класса общеобразовательной школы изучающих математику по учебнику «Алгебра 7» для учащихся общеобразовательных учреждений, А.Г.Мордкович, М.,Мнемозина,2012

На уроке организована частично - поисковая деятельность учащихся, которые в ходе выполнения практической работы учащиеся выясняют, как влияют коэффициенты k и m линейных функций на взаимное расположение соответствующих прямых.

Выполнение исследовательской работы учащихся организовано в группах. В конце выполнения работы по одному представителю презентуют работу у доски перед всеми учащимися класса.

Урок состоит из следующих основных этапов:

1.Организационный момент

2.Актуализация опорных знаний

исследовательской работы

5.Физминутка

7.Рефлексия

Использование на уроке информационно-коммуникационных технологий (презентация к уроку) способствует увеличению количества заданий рассматриваемых на уроке, позволяет сделать урок ярким и интересным для учащихся, повышает интерес к предмету.

Тема урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Цель урока: формирование практико-ориентированной компетенции при построении графиков функций в зависимости от коэффициентов

Задачи:

Образовательные:

1.Повторить свойства линейной функции

2.Отработать навык построения графиков линейной функции

3.Определить влияние коэффициентов к и m на взаимное расположение графиков линейных функций

4.Отработать знания и умения определять взаимное расположение графиков линейных функций заданных аналитически

5. Приобретение навыков исследовательской работы

Развивающие:

1.Развивать навыки самоконтроля

2.Развивать коммуникативные компетентности (культуру общения, умение работать в группах

3.Развивать осмысленное отношение к своей деятельности; творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества

4.Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.

5.Развивать практическую направленность изучаемого материала

6.Развивать математическую речь, память, умение анализировать, обобщать и делать выводы;

7.Развивать познавательный интерес к предмету, логическое мышление;

Воспитательные:

1.Воспитывать ответственное отношение к учению;

2.Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

3.Воспитывать аккуратность, трудолюбие, чувство коллективизма, уважение и интерес к математике

4.Воспитывать культуру общения, умения слушать и слышать других

Тип урока : изучение нового материала.

Вид урока : проблемный.

Формы организации учебно-познавательной деятельности : фронтальная работа, работа в группах, индивидуальная работа

Структура урока:

1.Организационный момент

2.Актуализация опорных знаний

3.Введение в тему, постановка учебных задач

4.Изучение нового материала в ходе выполненияисследовательской работы

5.Физминутка

6.Первичное осмысление и закрепление учебного материала

7.Рефлексия

8.Запись и обсуждение домашнего задания

9.Подведение итога урока, анкетирование

Эпиграф урока

«Истина не рождается в голове отдельного человека, она рождается между людьми, совместно ищущими, в процессе их диалогического общения»

Бахтин М.М

Ход урока

1.Организационный момент -2 мин.

Цель: обеспечить рабочую обстановку на уроке, включить всех обучающихся в рабочую обстановку.

Учитель приветствует учащихся, проверка присутствующих на уроке и проверка готовности к уроку, наличие учебных принадлежностей. Настрой учащихся на учебную деятельность.

2.Актуализация опорных знаний - 6 мин.

Цель: организовать познавательную деятельность учащихся.

Экспресс-опрос

1)Слайд 3: проверка знания видов функций и формул их задающих; алгоритм построения графиков линейной функции и прямой пропорциональности.

Какие функции вам известны?

Какой формулой задается каждая из этих функций?

Как называется переменная x и y в формуле, задающий функцию?

Что является графиком этих функций? В чем их сходство и различие?

Каким образом мы сможем построить графики этих функций?

2)Слайд 4: Среди записанных на доске формул выберите те, которые задают линейную функцию, прямую пропорциональность. Сколько точек, кроме начала координат, достаточно для построения графика прямой пропорциональности?

y= (5x-1) + (8x+9)

3)Слайд 5: нахождение значения функции для известного значения аргумента и нахождение аргумента по известному значению функции.

Функция задана формулой y=2x+5. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -3;0;5

Функция задана формулой y=4x-9. Найдите значение аргумента, при котором функция принимает значение -1;0;3

4)Слайд 6: проверить принадлежность предложенных точек графику заданной функции у= -2х

5)Слайд №7.Установите соответствие между графиком линейной функции и ее формулой

а) б) в)

г) д е)

1)у=2х 2) у=-2х 3)у=2х+2 4) у=-2х+2 5)у=-2х+2 6)у=-2х-2

3.Введение в тему. Постановка учебных задач - 2 мин.

Цель: обеспечить целеполагание.

Известно, что графиком линейной функции и прямой пропорциональности являются прямые. Ребята, вспомните из курса геометрии, каким может быть взаимное расположение двух прямых (параллельны, пересекаются, совпадают). А теперь нам предстоит выяснить, от чего зависит взаимное расположение двух прямых, то есть перед нами такая проблема : слайд №8

1.Выяснить при каком значении k и m графики функций параллельны, пересекаются.

2.Выяснить существует ли связь между значением m и координатами точек пересечения графика с осями координат.

Для этого мы выполним следующую исследовательскую работу.

4.Изучение нового материала в ходе выполнения исследовательской работы - 15 мин. Цель: создание условий для введения нового материала. (слайд №9)

Сейчас вы выполните исследовательскую работу, которая поможет ответить на следующие вопросы: от чего зависит параллельность, пересечение графиков линейных функций? Как по аналитическому заданию функций определить взаимное расположение их графиков? Для этого в одной системе координат постройте графики функций, определите закономерность расположения графиков и сходство в записи формул:

Задание №1 первому ряду:

Задание №2 второму ряду:

Задание №3 третьему ряду:

Обсуждение результатов исследовательской работы

Слайд 10: обсуждение результатов исследовательской работы.

1)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №1, что вы можете сказать про коэффициенты? (k - одинаковы, m - различны). Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №1 (графики данных функций параллельны).

2)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №2, что вы можете сказать про коэффициенты? (k -различны, m - различны) Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №2? (графики данных функций пересекаются). Слайд №11.

3)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №3, что вы можете сказать про коэффициенты? (k - различны, m - одинаковы). Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №3? (графики данных функций пересекаются в точке с координатой (0;3)). Слайд №12.

4)Какой вывод можно сделать, сопоставив аналитическое задание функций и взаимное расположение их графиков? (слайд 13).Записать полученные выводы в тетрадь.

Заполните таблицу (слайд №14): (проверка по слайду №15)

5.Физминутка-релаксация. (слайд 16)-2мин.

Просмотр слайда под музыку , и выполнение п ростейших упражнений для глаз , которые служат профилактикой нарушения зрения, а также благоприятны при неврозах, гипертонии, повышенном внутричерепном давлении.

Комплекс упражнений для глаз:

1) вертикальные движения глаз вверх - вниз;
2) горизонтальное вправо - влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчетливее;
5) на доске начерчены кривые (спираль, окружность, ломаная)и четырехугольники; предлагается глазами “нарисовать” эти фигуры несколько раз в одном, а затем в другом направлении.

Мозговая гимнастика

6) “Ленивые восьмёрки” (упражнение активизирует структуры мозга, обеспечивающие запоминание, повышает устойчивость внимания):

нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости “восьмёрки” по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.

7) “Шапка для размышлений” (улучшает внимание, ясность восприятия и речь):

“наденьте шапку”, то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки три раза.

8) “Письмо носом” (снижает напряжение в области глаз):

закройте глаза. Используя нос, как длинную ручку, пишите или рисуйте что-нибудь в воздухе. Глаза при этом мягко прикрыты.

6.Первичное осмысление и закрепление изученного - 12 мин.

Цель: отработка умения определять по формулам задающим линейные функции взаимное расположение графиков функций

1)Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций (слайд №17):

у = 2х и у = 2х - 4

у = х +3 и у = 2х - 1

у =4х + 6 и у = 4х + 6

у =12х - 6 и у = 13х - 6

у =0,5 х + 7 и у = 1/2 х - 7

у =5х + 8 и у = 15/3х + 4

у = 12/16х - 4 и у = 15 /16х +3

2)Поставьте вместо … такое число, чтобы графики заданных линейных функций (слайд №18):

пересекались: параллельны:

у = 6х + 5 и у = … х + 5

у = - 9 - 4х и у = -… х - 5

у = - х - 6 и у = -…х + 6

а) у = 1,3х - 5 и у = …х +7

б) у = …х + 3 и у = -4 х - 6

в) у = 45 - … х и у = -2х - 5

3)Составить функцию, так чтобы они пересекали ось ОУ в точке с координатой (0;т) (слайд №19)

а) у = 10х -3;

б) у = - 20х -7;

в) у = 0,5х -3;

г) у = -3 - 20х;

д) у = 3х +2 ;

е) у = 2 + 3х;

ж) у = 1/2х + 3;

в) решить по учебнику №10.6;10.8;10.10

7.Рефлексия -2 мин.

Цель: создание условий для формирования навыков самоанализа.

Фронтальное обсуждение вопросов: какова цель прошедшего урока? Что мы делали, чтобы достигнуть цели? Что нового узнали?

8. Запись и обсуждение домашнего задания - 2 мин. (слайд 20)

9.Подведение итогов урока и выставление оценок. Анкетирование -2 мин.

Цель: подвести итоги урока, обобщить и систематизировать знания и умения, полученные на уроке

Анкета «Как прошел урок?» (слайд 21)

Литература:

1. А.Г.Мордкович. Алгебра 7, Часть1, учебник. для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина,2010

2. А.Г.Мордкович. Алгебра. 7,.Часть 2, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина,2010

3. Л.А. Александрова Алгебра 7, Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина, 2012г

Самоанализ

В ходе урока по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций» достигнуты все поставленные цели. Учащиеся с большой готовностью и желанием включились в работу, с интересом выполняли задания практической работы. По ходу урока ребята стремились быстро и четко отвечать на поставленные вопросы, им было интересно узнать содержание последующих слайдов. За урок было решено большое количество заданий, устных и письменных, построено много графиков линейных функций, что способствует отработки навыка.

Устные вопросы способствовали развитию математической речи учащихся. Использование проблемных задач способствовало развитию логического мышления учащихся. Ребятам понравился этап подведения итога урока в виде анкеты «Как прошел урок?», все давали подробные ответы, а не просто односложно отвечали на предложенные вопросы. С большим энтузиазмом восприняли они и домашнее задание, которое можно назвать творческим, а не репродуктивным.

Используя на данном уроке презентацию, я смогла показать учащимся что компьютер - это универсальный инструмента для учебного процесса, а не только средство развлечения и общения.

Здесь будет файл: /data/edu/files/a1459785211.pptx (Взаимное расположение графиков линейных функций)

Алгебра, 7 класс

Тема:

На уроке используются:

Компьютер,

Презентации

Цели:

• Образовательные:

1. Отработка навыков построения графиков функции вида y=kx+b;
2. Выяснение влияния значений k и b на положение графиков;
3. Выяснение влияния значения параметра k на взаимное расположение графиков линейных функций.

• Воспитательные:

1.Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся;

2.Умение учащихся данной группы построить на короткое время взаимодействие, исходя из особенностей задач.

• Развивающие:

1. Интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

2. Развитие осмысленного отношения к своей деятельности;

3. Развитие самостоятельности мышления: выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщённые выводы.

Ход урока:

(Весь урок сопровождается презентацией, что облегчает восприятие )

1.Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку. Настраивает учащихся на работу.

Открывается слайд №1

Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?»

Давайте творить.

2. Актуализация знаний

Открывается слайд №2.

Задание распределить данные функции по группам: y=x 2 , y=2x+5, y=11,y=x 3 , y=x, y=-3x-8, y=-0,5x+1,y=-12, y=-x, y=x 2 +16, y=4x-3, y=7x

• На сколько групп вы распределили данные функции? (На две)
• Какие функции отнесли к первой группе и почему? (Графиками данных функций не являются прямыми.)

Группы указанные учащиеся записывают на доске

• Какие функции отнесли ко второй группе и почему? (Графиками данных функций являются прямые.)
• Обратите внимание на вторую группу формул.
• Распределите данные функции по их записи.
• На какие группы можем распределить данные функции? (1) y=2x+5, y=-3x-8,

y=-0,5x+1, y=4x-3; 2) y=x, y=-x, y=7x; 3) y=11, y=-12.)

Как называются функции из первой группы? (линейные)

Назовите коэффициент при x в формулах этих линейных функций? (2,-3,-0,5,4)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (двух)

Как называются функции из второй группы? (прямая пропорциональность)

Укажите коэффициент в формулах этих линейных функций? (1,-1,7)

Чему равно b в записях данных формул? (0)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (Графики всех данных функций проходят через точку (0;0), поэтому для построения графиков этих функций достаточно найти координаты одной точки.)

Какую еще выделили группу? (постоянные)

Чему равно b в записях всех данных формул? (11,-12)

Чему равен угловой коэффициент в формулах этих линейных функций? (0)

Как могут располагаться две произвольные прямые на плоскости? (Две прямые могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать)

3. Введение в тему. Постановка учебных задач на уроке.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая, поэтому графики двух линейных функций тоже могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать.

А теперь выясним, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться? (Расположение графиков линейных функций)

На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока. (Взаимное расположение графиков линейных функций)

Учитель корректирует ответы учащихся.

Давайте запишем в тетрадь тему урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Открывается слайд № 3

Выясним, что должны узнать на уроке.

Попытайтесь самостоятельно поставить цель, которую вы хотите достичь.

(Возможны ответы:

Должны рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций;

Графики, каких линейных функций параллельны, пересекаются, совпадают;

От чего зависит параллельность, пересечение, совпадение графиков линейных функций)

Открывается слайд № 4

4.Ознакомление с новым материалом.

А сейчас вы выполните графическую работу, которая поможет вам ответить на поставленные вопросы.

Открывается слайд № 5

Учитель обращает внимание на индивидуальные рабочие листы.

Задание №1:

Y=0.5x+1,5; y=0,5x; y=0,5x-2.

Задание №2:

В одной системе координат постройте графики функций:

Y=-x+3; y=1,5x+3; y=0,25x+3

Учитель знакомит учащихся с заданиями:

Построение графика функции под цифрой 3 выполняется, если уже построено по два графика в каждой группе заданий.

В итоге выполнения заданий у вас в тетради должны быть изображены две системы координат, в каждой из которых обязательно по два графика. У сильных учащихся в тетрадях возможно - по три графика.

После построения открывается слайд с построенным заданием №1.

Открывается слайд №6

Работа по чертежу.

Обратите внимание на слайд.

Что можно сказать про графики линейных функций? (они параллельны)

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (k равны, b не равны)

Вывод? (если у линейных функций угловой коэффициент одинаковый, то их графики параллельны)

Открывается слайд №7

Работаем над заданием №2

Что можно сказать про графики линейных функций? (они пересекаются в одной точке (0;3))

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (b равны, k не равны)

Вывод? (график линейной функции пересекает ось OY в точке (0;b))

Обратите внимание на цели, которые вы поставили в начале урока. На какой вопрос осталось ответить? (в каком случае графики двух функций совпадают)

В каком же случае графики двух функций совпадают? (графики двух функций совпадают если совпадают k и b.

5.Здоровье-сберегающая пауза.

Открывается слайд № 8 (звучит спокойная музыка)

После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.

Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.

Ось ординат. Раз. Два. Потянулись.

Ось абсцисс. Потянулись.

Прямая у=kx+b.

k – положительное. Наклон вправо. Потянулись.

k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись.

И ещё раз.

Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.

6.Первичное осмысление и закрепление изученного.

Переходим к самой интересной части нашего урока.

Решая следующие задачи, в таблице ответов найдём букву. Из полученных букв попробуем составить имя великого математика.

Разобьёмся на группы. По полученному ответу в таблице каждая группа найдёт букву. Собрав все буквы вместе, мы получим имя известного математика.

Вперёд.

1 группа . Работают по карточкам индивидуально

Задание 1. При каком b функции у=-7х+ b и у=5х+4 пересекаются в точке (1;9)

Ответ: 16

Задание 2. При каком k функции у=kх+7 и у=-3х+5 пересекаются в точке (1;2).

Ответ: -5

Задание 3. Найдите сумму k и b в формуле линейной функции у = k . x + b, график которой проходит через точки с координатами (-1;-2), (1;6).

Ответ: 6

1. группа. Работа с обучающими карточками в паре или индивидуально

Обучающая карточка. 1

Ответ: 1.

Обучающая карточка. 2

Ответ: 2

1. группа. Работа с карточкой.

В одной системе координат построены графики функций

У = -0,4х и у = 2.

Определите по графику координаты точки их пересечения и найдите сумму этих координат.

Ответ -3

1. группа. Работа с учащимися.

Графически решить уравнение

3х + 4 = -2х – 1

Ответ: х=-1

Открывается слайд № 9

Таблица ответов

БЕЛНИЙЦ

Готфрид Вильгельм Лейбниц – это имя немецкого математика, который и ввёл термин «функция».

Подробнее о нём можно узнать из презентации, созданной вашим одноклассником.

Итак, презентация презентации.

Из истории.

7.Рефлексия .

Ученик допустил ошибки при построении графиков функций

У = х (рис. 8), у = -3х (рис. 9), у = 2х + 4 (рис. 10)

Докажите, что графики построены неверно (попробуйте решить задачу, не прибегая к вычислениям и к построению прямых)

Открывается слайд № 10

рис. 8

Открывается слайд № 11

рис. 9

Открывается слайд № 12

рис. 10

Открывается слайд №13.

Открывается слайд №14.

Открывается слайд №15.

Открывается слайд №16.

8.Домашнее задание.

Открывается слайд № 17

На следующем уроке мы с вами поговорим о применении линейной функции в различных жизненных ситуациях, применение линейной функции в других предметах.

Поэтому дома оглядитесь вокруг себя и, используя весь свой творческий потенциал, попробуйте найти графики линейных функций, а также линейную зависимость одной переменной от другой.

Поработайте с презентацией.

Для интересующихся математикой тема:

«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».

• Запишите д/з

Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость -2.
Задание №2:
В одной системе координат постройте графики функций:
y
=-
x
+3;
y
=1,5
x
+3;
y
=0,25
x
+3
у = 2х + 4
Найди ошибку! Объясни!
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций
Цель:
Ответ
Буква
8
М
16
Б
7
К
-5
Е
6
Л
-3
Н
1
И
-9
О
11
У
2
Й
4
Р
-1
Ц
Б
Е
Л
Н
И
Й
Ц
Взаимное расположение
графиков линейных функций
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Здоровье-сберегающая пауза.
После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.
Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.
Ось
ординат.
Раз. Два. Потянулись.
Ось
абсцисс.
Потянулись.
Прямая
у=
kx
+
b
.
k
– положительное. Наклон вправо. Потянулись.
k
– отрицательное. Наклон влево. Потянулись.
И ещё раз.
Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.
Для интересующихся математикой
:
«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».
Запишите
д
з
- Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость
одной переменной от другой вокруг себя, в других предметах.
- Поработать с презентацией.
Домашнее задание
Распределите данные функции по группам
:
y
=
x
2
y
=2
x
+5
y
=11
y
=
x
3
y
=
x
y
=-3
x
-8
y
=-0,5
x
+1
y
=-12
y
=-
x
y
=
x
2
+16
y
=4
x
-3
y
=7
x

Что можно сказать про графики линейных функций?
Что можно сказать про коэффициенты
b
и
k
в формулах?
Вывод?
у = -3х
Найди ошибку! Объясни!

§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х - 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2 Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010