Законы физики, как уже отмечалось, устанавливают количественные соотношения между физическими величинами. Для установления таких соотношений необходимо иметь возможность измерять различные физические величины.

Измерить какую-либо физическую величину (найример, скорость) означает сравнить ее с величиной того же вида (во взятом примере - со скоростью), принятой за единицу.

Вообще говоря, для каждой физической величины можно было бы установить ее единицу произвольно, независимо от других. Однако оказывается, что можно ограничиться произвольным выбором единиц для нескольких (минимум трех) в принципе любых величин, принятых за основные. Единицы же всех прочих величин можно установить с помощью основных, воспользовавшись для этой цели физическими законами, связывающими соответствующую величину с основными величинами или с величинами, для которых единицы уже установлены подобным образом.

Поясним сказанное следующим примером. Предположим, что мы уже установили единицы для массы и ускорения. Соотношение (9.3) связывает закономерным образом эти величины с третьей физической величиной - силой. Выберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в этом уравнении был равен единице. Тогда формула (9.3) принимает более простой вид:

Из (10.1) следует, что установленная единица силы представляет собой такую силу, под действием которой тело с массой, равной единице, получает ускорение, равное также единице (подстановка в (10.1) F=1 и дает ).

При указанном способе выбора единиц физические соотношения принимают более простой вид. Сама же совокупность единиц образует определенную систему.

Существует несколько систем, отличающихся выбором основных единиц. Системы, в основу которых положены единицы длины, массы и времени, называются абсолютными.

В СССР введен с 1 января 1963 г. государственный стандарт ГОСТ 9867-61, устанавливающий применение Международной системы единиц, обозначаемой символом СИ. Эта система единиц должна применяться как предпочтительная во всей области науки, техники и народного хозяйства, а также при преподавании. Основными единицами СИ являются: единица длины - метр (сокращенное обозначение - м), единица массы - килограмм (кг) и единица времени - секунда (с). Таким образом, СИ принадлежит к числу абсолютных систем. Кроме указанных трех единиц, СИ принимает в качестве основных единицу силы тока - ампер (А), единицу термодинамической температуры - кельвин (К), единицу силы света - канделу (кд) и единицу количества вещества - моль (моль).

Об этих единицах будет речь в соответствующих разделах курса.

Метр определяется как длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона-86 (оранжевая линия криптона-86), Метр приближенно равен 1/40 000 000 доле длины земного меридиана. Применяются также кратные и дольные единицы: километр ), сантиметр ), миллиметр (1 мм ), микрометр (1 мкм ) и т. д.

Килограмм представляет собой массу платино-иридиевого тела, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Это тело называется международным прототипом килограмма. Масса прототипа близка к массе 1000 см3 чистой воды при 4 °С. Грамм равен 1/1000 килограмма.

Секунда определяется как промежуток времени, равный сумме 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Секунда приблизительно равна 1/86 400 средних солнечных суток.

В физике применяется также абсолютная система единиц, называемая СГС-системой. Основными единицами в этой системе, являются сантиметр, грамм и секунда.

Единицы введенных нами в кинематике величин (скорости и ускорения) являются производными от основных единиц. Так, за единицу скорости принимается скорость равномерно движущегося тела, проходящего в единицу времени (секунду) путь, равный единице длины (метру или сантиметру). Обозначается эта единица м/с в СИ и см/с в СГС-системе. За единицу ускорения принимается ускорение равномерно-переменного движения, при котором скорость тела за единицу времени (секунду) изменяется на единицу (на м/с или см/с). Обозначается эта единица в СИ и в СГС-системе.

Единица силы в СИ называется ньютоном (Н). Согласно ньютон равен силе, под действием которой тело с массой 1 кг получает ускорение . Единица силы в СГС-системе называется диной (дин). Одна дина равна силе, под действием которой тело с массой 1 г получает ускорение 1 см/с2. Между ньютоном и диной имеется следующее соотношение:

В технике широко применялась система МКГСС (называемая обычно технической системой единиц). Основными единицами этой системы являются метр, единица силы - килограмм - сила (кгс) и секунда. Килограмм - сила определяется как сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение, равное 9,80655 м/с2. Из этого определения следует, что 1 кгс=9,80655 Н (приближенно 9,81 Н).

За единицу массы в МКГСС согласно (10.1) должна быть принята масса такого тела, которое под действием силы в 1 кгс получает ускорение 1 м/с2. Эта единица обозначается кгс с2/м, специального названия она не имеет. Очевидно, что 1 кгс с2/м=9,80655 кг (приблизительно 9,81 кг).

Из способа построения систем единиц следует, что изменение основных единиц влечет за собой изменение производных единиц. Если, например, за единицу времени принять вместо секунды минуту, т. е. увеличить единицу времени в 60 раз, то единица скорости уменьшится в 60 раз, а единица ускорения уменьшится в 3600 раз.

Соотношение, показывающее, как изменяется единица какой-либо величины при изменении основных единиц, называется размерностью этой величины. Для обозначения размерности произвольной физической величины используется ее буквенное обозначение, взятое в квадратные скобки. Так, например, символ Ы означает размерность скорости. Для размерностей основных величин используются специальные обозначения для длины L, для массы М и для времени Т. Таким образом, обозначив длину буквой I, массу буквой и время буквой t, можно написать:

В указанных обозначениях размерность произвольной физической величины имеет вид и у могут быть как положительными, так и отрицательными, в частности, они могут равняться нулю). Эта запись означает, что при увеличении единицы длины в раз единица данной величины увеличивается в раз (соответственно число, которым выражается значение величины в этих единицах, уменьшается в раз); при увеличении единицы массы в раз единица данной величины увеличивается в раз и, наконец, при увеличении единицы времени в раз единица данной величины увеличивается в раз.

Написанное соотношение называется формулой размерности, а его правая часть - размерностью соответствующей величины (в данном случае скорости).

На основании соотношения можно установить размерность ускорения:

Размерность силы

Аналогично устанавливаются размерности всех прочих величин.

Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин .

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными .

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей :

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин . Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT . На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС , МКС и МТС . На основе системы LFT , в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС .

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT , как указано выше, выражается равенством dim F =LMT -2 , а в системе LFT выполняется dim F =F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу - безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия , постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха , Рейнольдса , Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Проверка размерности

В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды . Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.

Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.

Анализ размерности

Анализ размерности - метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.

При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.

Понятие о размерности измеряемых величин

Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim , происходящим от слова dimension (измерение, размах, величина, степень, мера) .
Размерность основных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами.
Например, для длины, массы и времени:

dim l = L; dim m = M; dim t = T .

При определении размерности производных величин руководствуются следующими правилами:

1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативна , т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.

3. Размерность произведения нескольких величин равна произведению их размерностей . Так, если зависимость между значениями величин Q , А , В , С имеет вид Q = А×В×С , то

dim Q = dim A×dim B×dim C .

4. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей , т. е. если Q = А/В , то

dim Q = dim A/dim B .

5. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени.
Так, если Q = А n , то

dim Q = dim n A .

Например, если скорость определять по формуле V = l / t , то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 .
Если сила по второму закону Ньютона F = mа , где а = V/ t - ускорение тела, то

dim F = dim m×dim а = МL/Т 2 = MLТ -2 .

Итак, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью стеᴨенного одночлена:

dim Q = LMT ... ,

где:
L, М, Т,... - размерности соответствующих основных физических величин;
a,b ,q ,... - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем.

Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость) , и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений) .
В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.

Размер измеряемой величины является количественной ее характеристикой. Получение информации о размере физической или нефизической величины является содержанием любого измерения.

Измерительные шкалы и их типы

В теории измерений принято, в основном, различать пять типов шкал: наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абсолютные .

Шкалы наименований характеризуются только отношением эквивалентности (равенства) . Примером такой шкалы является распространённая классификация (оценка) цвета по наименованиям (атласы цветов до 1000 наименований) .

Шкалы порядка - это расположенные в порядке возрастания или убывания размеры измеряемой величины. Расстановка размеров в порядке их возрастания или убывания с целью получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием. Для облегчения измерений по шкале порядка некоторые точки на ней можно зафиксировать в качестве опорных (реперных) . Недостатком реперных шкал является неопределённость интервалов между реперными точками.
В связи с этим баллы нельзя складывать, вычислять, перемножать, делить и т.п.
Примерами таких шкал являются: знания студентов по баллам, землетрясения по 12 -балльной системе, сила ветра по шкале Бофорта, чувствительность плёнок, твёрдость по шкале Мооса и т.д.

Шкалы разностей (интервалов) отличаются от шкал порядка тем, что по шкале интервалов можно уже судить не только о том, что размер больше другого, но и на сколько больше. По шкале интервалов возможны такие математические действия, как сложение и вычитание.
Характерным примером является шкала интервалов времени, поскольку интервалы времени можно суммировать или вычитать, но складывать, например, даты каких-либо событий не имеет смысла.

Шкалы отношений описывают свойства, к множеству самих количественных проявлений котоҏыҳ применимы отношения эквивалентности, порядка и суммирования, а следовательно, вычитания и умножения. В шкале отношений существует нулевое значение показателя свойства. Примером является шкала длин.
Любое измерение по шкале отношений заключается в сравнении неизвестного размера с известным и выражении первого через второй в кратном или дольном отношении.

Абсолютные шкалы обладают всеми признаками шкал отношений, но в них дополнительно существует естественное однозначное определение единицы измерения. Такие шкалы соответствуют относительным величинам (отношения одноимённых физических величин, описываемых шкалами отношений) . К таким величинам относятся коэффициент усиления, ослабления и т. п. Среди этих шкал существуют шкалы, значения которых находятся в пределах от 0 до 1 (коэффициент полезного действия, отражения и т.п.) .

Измерение (сравнение неизвестного с известным) происходит под влиянием множества случайных и неслучайных, аддитивных (прибавляемых) и мультипликативных (умножаемых) факторов, точный учёт которых невозможен, а результат совместного воздействия непредсказуем.

Основной постулат метрологии - отсчёт - является случайным числом.
Математическая модель измерения по шкале сравнения имеет вид:

q = (Q + V)/[Q] + U ,

где:
q - результат измерения (числовое значение величины Q );
Q - значение измеряемой величины;
[Q] - единица данной физической величины;
V - масса тары (например, при взвешивании);
U - слагаемое от аддитивного воздействия.

Из приведенной формулы можно выразить значение измеряемой величины Q :

Q = q[Q] - U[Q] - V .

При однократном измерении величины ее значение подсчитывается с учетом поправки:

Q i = q i [Q] + i ,

где:
q i [Q] - результат однократного измерения;
i = - U[Q] - V - суммарная поправка.

Значение измеряемой величины при многократном измерении может быть определено из соотношения:

Q n = 1/n×∑Q i .

размерность стандартизация сертификации

Размерность физической величины -- выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены.

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц. Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин.

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными.

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита, далее размерности производных величин обозначаются с использованием этих символов.

В Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ), на которой базируется Международная система единиц (СИ), в качестве основных величин выбраны длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, сила света и количество вещества. Символы их размерностей приведены в таблице.

Для указания размерностей производных величин используют символ dim.

Например, для скорости при равномерном движении выполняется

где -- длина пути, пройденного телом за время. Для того, чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:

Аналогично для размерности ускорения получается

Из уравнения второго закона Ньютона с учётом размерности ускорения для размерности силы следует:

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные (положительные или отрицательные, целые или дробные) степени. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю -- безразмерной.

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин. Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT. На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС, МКС и МТС.

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Поэтому, в частности, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу -- безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха, Рейнольдса, Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Размер физической величины -- значения чисел, фигурирующих в значении физической величины, а размерность физической величины - это единица измерения, фигурирующая в значении физической величины. Как правило, у физической величины много различных размерностей: например, у длины -- метр, миля, дюйм, парсек, световой год и т. д. Часть таких единиц измерения (без учёта своих десятичных множителей) могут входить в различные системы физических единиц -- СИ, СГС и др. Например, автомобиль может быть охарактеризован с помощью такой физической величины, как масса. Размером данной физической величины будет 50, 100, 200 и т.д., а размерность выражена в единицах измерения массы - килограмм, центнер, тонна. Этот же автомобиль может быть охарактеризован с помощью другой физической величины -- скорости. При этом размером будет, например, число 100, а размерностью - единица измерения скорости: км/ч.

Размерность физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные.

Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р.

Так, например, Р. скорости LT -1 , где Т представляет собой Р. времени, а L - Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами

Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim, происходящим от слова dimension.

Размерностьосновных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами. Например, для длины, массы и времени dim l = L; dim m = M; dim t = T.

При определении размерностипроизводных величин руководствуются следующими правилами

1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативная, т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.

2.1. Размерность произведения нескольких величин равна произведе­нию их размерностей. Так, если зависимость между значениями величин Q, А,В, С имеет вид Q = А × В × С, то

dim Q = dim A × dim B × dim C.

2.2. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т. е. если Q = А/В, то

dim Q = dim A/dim B.

2.3. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени. Так, если Q = А n , то

dim Q = dim n А,

Например, если скорость определять по формуле V = l / t, то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 . Если сила по второму закону Ньютона F = m×а, где а = V/ t - ускорение тела, то dim F = dim m × dim а = МL/Т 2 = MТ -2 .

Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью степенного одночлена:

dim Q = L a M b T g …,

где L, М, Т, . . . - размерности соответствующих основных физических величин; a, b, g, … - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость), и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений). В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.