Вадим Протасенко

2. Относительность одновременности

"Представим себе двух людей, проходящих друг мимо друга на улице. События в туманности Андромеды (ближайшей большой галактике, находящейся на расстоянии 20 000 000 000 000 000 000 км от нашей собственной галактики — Млечного пути), одновременные, по мнению двух этих прохожих, в том момент, когда они поравняются друг с другом, могут отстоять по времени друг от друга на несколько суток. То есть в то время, когда для одного из прохожих космический флот, отправленный с заданием уничтожить всё живое на Земле, уже находится в полёте, для другого прохожего само решение относительно отправки космического флота в рейд ещё не принято."

(Р.Пенроуз "Новый ум короля" УРСС 2003, Москва, стр. 168).

Прочитав в своё время вот это утверждение одного из самых именитых физиков-теоретиков современности, профессора Оксфордского университета, возглавляющего в нём кафедру математики, почётного профессора многих университетов и академий мира, члена Лондонского Королевского общества сэра Роджера Пенроуза, я окончательно утвердился во мнении, что все физики-теоретики, начиная с Альберта Эйнштейна, были и являются потенциальными пациентами клиники Кащенко (или чьё, бишь, имя носят клиники такого рода в Англии и Америке?). Думаю, что, читая подобные утверждения современных физиков-теоретиков, субъективисты должны довольно потирать руки: вот, мол, оно — учёные подтверждают их, субъективистов, правоту, поскольку для каждого субъекта существует свой собственный Мир со своей собственной хронологией событий.

Я, конечно, понимал, что к субъективизму сии утверждения профессора Оксфордского университета отношения иметь не могут. Ноги человека, рассуждал я, движутся с разными скоростями — нога, выносимая вперёд, имеет относительно земли скорость примерно в два раза большую, чем средняя скорость человека, а опорная нога так и совсем покоится, следовательно, можно утверждать, что из специальной теории относительности следует вывод: для одной ноги одного и того же пешехода космический флот уже в пути, а для другой ноги адмиралы "Тёмной армады" всё ещё решают судьбу человечества. Нет, слова Пенроуза — это даже не субъективизм, полагал я, это хуже, это помешательство иного рода. И, конечно, думал я, физика не может находиться вечно под властью душевно нездоровых личностей — физику нужно срочно спасать.

Я стал читать подряд все, какие только мог найти работы по теории относительности — труды Эйнштейна, Пуанкаре, Паули и пр. Вскоре от меня начали шарахаться люди, замечавшие летом на пляжах Турции в моих руках вместо книжки Дарьи Донцовой том собрания научных трудов Альберта Эйнштейна (его удалось приобрести по случаю в букинистической лавке).

Впрочем, если дело ограничивалось бы только чтением, то это было бы только полбеды. Всё усугублялось тем, что меня стали преследовать собственные навязчивые идеи — просыпаясь по ночам, я всё чаще ловил себя на мысли, что и во сне продолжаю думать о теории относительности. Хуже того, я начал периодически рисовать некие бессмысленные с точки зрения окружающих знаки — разноцветные линии с рядами цифр. Увы, мой ум оказался не готовым к столь серьёзному испытанию, изначальная нестойкость убеждений и чрезмерное нервное напряжение привели к тому, что через некоторое время я стал замечать, что — о, ужас — уже понимаю тексты релятивистов (в виду имеются, конечно не философы-релятивисты, а физики — сторонники теории относительности), ранее казавшиеся мне бессмысленными. Закончилось всё печально: ещё один донкихот сломал своё копьё о мельничные крылья теории относительности.

Одновременность событий: что она собой фактически представляет?

Если вы, уважаемый читатель, всё же видите перед собой данные строки, то это означает, что вы не вняли моему предупреждению, сделанному выше. Судя по всему, вы очень смелый или безрассудный человек (что, наверное, одно и то же). Ну что ж, смелость города берёт, и ваша смелость должна быть вознаграждена. Потому лично вам я сообщу, что на самом деле написанное мной выше является по большей части шуткой — никогда ранее я не испытывал такого душевного спокойствия, как после осознания сути теории относительности. "Безумный мир Эйнштейна" вдруг снова стал тихим спокойным миром, каким он был и во времена Ньютона. Впрочем, похоже, моё вступление слишком уж затянулось, пора приступать к делу.

Почему же столь странный, на первый взгляд, вывод об относительности одновременности, следующий из теории относительности, был спокойно принят основоположниками данной теории, которые, как я показал в заметке "Вопросы гносеологии", субъективистами себя не признавали и верили в существование объективного общего для всех субъектов Мира? Если вернуться к рассмотрению описанного в эпиграфе случая с двумя встретившимися прохожими, которые по-разному воспринимают одновременные события, то легко заметить, что события в туманности Андромеды, одновременные для каждого из прохожих, происходят на огромном расстоянии от того места, где бредут друг мимо друга двое наших прохожих. И "в тот момент времени", когда пешеходы проходят друг мимо друга, события в туманности Андромеды никаким образом не оказывают воздействия ни на самих прохожих, ни на весь окружающий их земной мир. Мало того, данные события не смогут оказать никакого влияния на материю в окрестностях Земли в ближайшие две тысячи лет, пока какое-либо взаимодействие (точнее, действие), имеющее конечную скорость распространения, вышедшее из туманности Андромеды, не достигнет Земли. Можно утверждать, что в случае Земли и туманности Андромеды мы имеем дело с двумя непроницаемыми друг для друга мирами, между которыми "в настоящий момент времени" нет никакой материальной связи. То бишь миры эти, как я уже отмечал, соприкоснутся только в будущем, когда действие от одного из них дойдёт до другого. Но когда через несколько тысяч лет космический флот воинственных обитателей туманности Андромеды достигнет Земли, то этот чёрный для обитателей Земли день наступит одновременно для останков обоих прохожих, несмотря на то, что вылет инопланетной эскадры каждый из прохожих считал одновременным разным событиям на Земле.

Теория относительности не вмешивается в последовательность протекания событий в каждой конкретной точке мирового пространства, она не переставляет местами следование причинно-связанных событий. Согласно теории относительности, зависимым от скорости движения инерциальной системы отсчёта (ИСО), из которой производятся наблюдения, оказывается лишь порядок сопоставления во времени причинно не связанных, не влияющих друг на друга событий. Написанное мной выше — это пока ещё не разъяснение сути теории относительности, а всего лишь констатация некоторых вытекающих из неё фактов.

Что же тогда возмущает наш здравый смысл в описанной Пенроузом ситуации, если события в каждой точке пространства происходят независимо от наших прохожих (ну, конечно, кроме тех событий, в которых прохожие как элементы материального Мира принимают непосредственное участие), если от того, какие события каждый прохожий посчитает одновременными, не зависит ничего в Мире? Как мне кажется, нашему здравому смыслу тут противно то, что если посчитать выводы из теории относительности соответствующими действительности, то мы оказываемся не в состоянии зафиксировать состояние Мира на определённый момент времени. Точнее, это состояние Мира оказывается разным для систем отсчёта, движущихся с разной скоростью.

Но давайте разберёмся: имеем ли мы вообще право вести речь о состоянии Мира в определённый момент времени как о чём-то объективном? Другими словами, существует ли Мир в виде одновременного состояния всех его элементов?

Как я уже отмечал в заметке "Вопросы гносеологии", взгляды создателей новой физики отличало от ранее господствовавших в физике стихийно-материалистических взглядов то, что при несомненном признании существования объективного мира создатели новой физики шли к познанию объективного в мире через субъективные ощущения человека. И замечу, этот путь познания объективного есть единственно возможный путь. Разум человека, даже если человек этот до мозга костей материалист, никогда не имеет дело непосредственно с элементами объективного мира. Разум человека всегда имеет дело лишь с их отражениями, созданными органами чувств, а потому достаточно трудно представить себе то, как разум может идти от объективного мира к субъективным ощущениям — что, например, считал единственно правильным для материалиста В.Ленин:

"От вещей ли идти к ощущению и мысли? Или от мысли и ощущениям к вещам? Первой, то есть материалистической, линии держится Энгельс. Второй, то есть идеалистической, линии держится Мах" (В.И.Ленин "Материализм и эмпириокритицизм").

Возможно, конечно, что Ленин тут вовсе и не имел в виду то, что мы должны познавать мысли и ощущения человека через вещи (доступ к которым помимо наших ощущений и мыслей для нас закрыт), а пытался донести ту мысль, что ощущения и мысли человека суть производные от вещей.

Но ведь и "эмпириокритики", утверждая, что нужно идти от ощущения к вещи, тоже не имели в виду (во всяком случае Пуанкаре — точно), что вещь и есть лишь ощущение или что вещь есть производное от наших ощущений. Создатели новой физики, предтечей которой стал Мах (сам, кстати, теорию относительности так и не принявший), отдавали себе отчёт в том, что не все те представления, которые имеются в нашей голове, суть прямые отражения объективного мира, и что каждое наше представление, прежде чем оно может быть включено в картину объективного мира, должно пройти серьёзный анализ на объективность, то есть мы должны критически проанализировать свой опыт. Сам Мах проделал такой анализ в отношении абсолютного пространства и абсолютного времени, но тщательного анализа требуют и представления человека об одновременности событий, и представления о состоянии вещи, и, тем более, представления о состоянии целого Мира в определённый момент времени. И я сейчас попробую провести свой собственный анализ этих понятий, ибо анализ этих понятий, представленный в работах Пуанкаре или Эйнштейна, не кажется мне достаточным.

Посмотрим же, откуда у нас изначально берётся представление о некоем состоянии окружающего мира.

Мы оглядываемся вокруг — и видим постоянно изменяющийся мир. Но нам всё же кажется, что в любой момент времени мы можем зафиксировать некоторое состояние этого мира, и мы уверены, что делаем именно это, фиксируя состояние мира в своей памяти, на полотнах художников или на фотопленке. В наших представлениях Мир существует в некотором состоянии, называемом нами "Настоящим". Затем весь Мир разом переходит из этого состояние в другое, и тогда то, что было настоящим состоянием Мира, становится его прошлым состоянием — точнее, уходит в небытие, и у Мира наступает новое состояние, новое настоящее. И так повторяется мгновение за мгновением.

Однако давайте посмотрим, "настоящее" ли мира фиксирует наше сознание в каждое мгновение нашего бытия, давайте вдумаемся, глядя на фотографию, одновременное ли состояние окружающего мира мы видим на ней?

Все окружающие нас вещи, образы которых фиксирует наше сознание или фотографии, находятся на разных расстояниях от наших глаз или от объектива фотоаппарата, а это означает, что световой сигнал (да и любой другой материальный сигнал — например, гравитационный), донёсший до нас образы этих вещей, покинул их в совершенно различные, по нашим же понятиям, моменты времени. Мало того что то, что мы фиксируем в своём сознании (или на фотопленке) не есть настоящее, а всего только прошлое (даже в момент фиксации), так ещё и запечатлённым оказывается не одновременное состояние окружающего нас мира, а сложная комбинация образов "разновременных" состояний его элементов. Итак, элементарный анализ показывает, что, несмотря на то, что человек имеет некоторое понятие об одновременном состоянии окружающего его мира, на практике человек никогда не имеет дела с этим самым одновременным состоянием.

Но, может быть, проблема тут только в том, что это именно человек лишён возможности воспринимать окружающий его мир как одновременное состояние его элементов, но само это одновременное состояние имеет какой-то физический смысл, и мы вправе говорить о состоянии Мира в определённый момент времени?

Легко показать, что существование элемента Мира есть некое его проявление для других элементов. В Мире существует только то, что хоть как-то себя проявляет, что хоть как-то взаимодействует с другими элементами Мира. Говорить о том, что нечто существует, но при этом не может быть воспринято ни одним элементом мира — это значит бессмысленно сотрясать воздух. Итак, существование элемента Мира — это проявление, это действие элемента Мира на другой его элемент.

В первом томе "Теории общества" Александра Хоцея — современного философа-материалиста, — а также в ряде других его работ показано, что сущее суть вещи или их колонии, что Мир представляет собой совокупность вещей различных уровней организации, а любую вещь следует рассматривать как целое, как определённым образом упорядоченное взаимодействие других вещей — вещей более низкого относительно рассматриваемой вещи организационного уровня. Считая такие взгляды на мир самым убедительным сегодня обобщением опыта человечества, я в дальнейшем своём изложении буду исходить именно из таких представлений об объективном Мире.

Нетрудно показать, что ни один материальный сигнал не может передать мгновенное действие одной вещи на другую, пространственно от неё удалённую (а любые две вещи пространственно разделены — это обязательное условие существования вещи как отдельной единицы бытия). Следовательно, любые две вещи в каждый определённый момент времени ничего "не знают" о существовании друг друга в этот самый момент времени, они "знают" только о неких прошлых состояниях друг друга. Одна из вещей в определённый момент времени может прекратить своё существование (может оказаться уничтоженной) — и это никак не отразится на одновременном этому событию состоянии другой вещи, поскольку, повторяю, две вещи в одновременных состояниях никак не действуют друг на друга, то есть не существуют друг для друга в прямом смысле этого слова.

Но этого мало, в "одновременном состоянии" вещь не существует и сама для себя.

Поскольку каждая вещь-целое состоит из взаимодействующих и пространственно разделённых вещей-частей, то каждая часть вещи-целого в определённый момент времени сама не оказывает никакого действия на одновременные ей состояния других частей вещи-целого и не получает обратное действие от одновременных ей состояний других частей вещи-целого. Иными словами, в любой момент времени часть вещи-целого не существует для других одновременных ей состояний частей вещи-целого. И это, подчёркиваю, не метафора: существование вещи без какой-то её части — немыслимо, вещь проявляет себя в отношении окружающего мира именно как совокупность частей, которая больше чем целое, но если какая-либо часть вещи в какой-то момент времени может быть удалена из вещи (уничтожена, разложена на составляющие, выведена из состава вещи и т.д.), и при этом все остальные части вещи в этот самый момент никаким образом не почувствуют этого, а будут "существовать" и далее как ни в чём ни бывало, то можно ли такое мгновенное состояние вещи называть собственно вещью, можно ли такой мысленной конструкции человека, как мгновенное одновременное состояние вещи, приписывать такое свойство, как существование? На мой взгляд, нет — существование вещи есть процесс взаимодействия её частей, находящихся в разных временных "состояниях". В один и тот же момент времени на каждую часть вещи-целого передаются действия других частей вещи, и эти действия инициируются в разные моменты времени.

Более того, действие вещи на разные точки пространства вокруг неё представляет собой совокупное действие частей вещи, также находящихся в разных временных "состояниях", потому как действия частей вещи, дошедшие до некоторой точки пространства, вышли от разных частей вещи в разные моменты времени. Следует помнить, что сам термин "состояние", используемый мной в отношении части вещи-целого, есть абстракция, приближение в рамках задачи. Действие, оказываемое одной частью вещи на другую часть вещи, само не есть действие части, находящейся в определённом состоянии, оно представляет собой совокупность действий частей части (частей, из которых состоит сама рассматриваемая часть вещи), также находящихся в "разновременных состояниях".

Рассматривая состояние вещи или её части в определённый момент времени, мы считаем возможным абстрагироваться от времени, необходимого на передачу действия от одной части вещи к другой части вещи, точнее, абстрагироваться от того, что действие вещи-целого на другие вещи есть скооперированное действие её частей, находящихся в "разновременных состояниях".

Итак, я прихожу к заключению, что само понятие мгновенного состояния вещи (то есть представление о вещи как совокупности состояний всех её частей в определённый момент времени) — это всего лишь мыслимая человеком абстракция, в Мире никогда не реализуемая.

Что уж тогда говорить о мгновенном состоянии целого Мира? Не только человек оказывается не в состоянии воспринять окружающий его мир как одновременное состояние элементов этого мира, но и вообще ни одна вещь в Мире не воспринимает Мир как одновременное состояние его элементов, и сама эта вещь не воспринимается другими вещами Мира как одновременное состояние её частей. Устройство, которое могло бы фиксировать образ окружающего мира как совокупность его элементов в одновременных состояниях, есть невозможное устройство, оно запрещено природой — точь в точь как вечный двигатель.

Конечно, не имея возможности непосредственно воспринять Мир в "одновременном состоянии" и даже не имея возможности создать материальный объект, способный фиксировать одновременное состояние Мира (и даже всего лишь малой части Мира), человек, тем не менее, может себе представить это одновременное состояние Мира как набор элементарных "ячеек" бытия, находящихся в определённом состоянии. Эти ячейки оказываются никак не связанными друг с другом, не влияющими друг на друга, ибо между ними нет и по определению не может быть никакой материальной связи. Такой Мир представляет собой что-то вроде экрана моего LCD монитора, каждая ячейка которого в определённый момент времени имеет некоторое состояние. Но для того чтобы в таком Мире было возможно какое-то изменение состояний его ячеек, необходим некий внешний данному Миру механизм, управляющий этим изменением, как сие и имеет место быть с LCD монитором, состояние ячеек которого изменяет компьютер и внутренний (скрытый от меня как наблюдателя) механизм монитора. Более того, для наблюдения такого Мира в его "одновременном" состоянии требуется внешний Миру наблюдатель, способный в единое мгновение воспринять все разобщённые не связанные друг с другом элементы Мира. Я намекаю на то, что только некий мифический разум, некий "демон" (как принято называть такое существо в физике) или бог оказывается способным "ощутить" и зафиксировать мгновенное состояние такого Мира — как, впрочем, только демону или богу оказывается по силам перевести такой Мир из одного состояние в другое. Так что материалистам, похоже, придётся постараться обойтись без такого метафизического понятия как "одновременное состояние Мира" и признать, что Мир существует не в виде некого состояния, называемого "настоящее", а как совокупность взаимодействующих элементов, находящихся, по понятиям человека, в разновременных состояниях. И прошу читателей этих строк отметить, что данный вывод следует вовсе не из теории относительности, а из гораздо более общих и, как мне кажется, вполне материалистических соображений.

Но вернёмся ещё ненадолго к рассмотрению понятия мгновенного состояния вещи. Как я уже показал выше, любая вещь действует на другую вещь как совокупность частей, находящихся в "разновременных состояниях". При этом действие каждой части есть действие, зависимое от других частей вещи-целого, а потому можно утверждать, что любое мгновение существование вещи имеет некую длительность (как принято обозначать в физике dT — дельта те). И сама эта длительность мгновения определяется пространственной локализацией (размером) вещи и скоростью передачи взаимодействия. Если условный диаметр вещи обозначить буквой D, а скорость передачи действия в материальном мире буквой C, то тогда для вещи, покоящейся в некоторой системе отсчёта (в той, в которой скорость распространения действия равна С), длительность мгновения получится равным dT = D/С. Физический смысл этой величины заключён в том, что при рассмотрении промежутков времени меньших, чем данный, вести речь о состоянии вещи уже не представляется возможным, — тут можно вести речь лишь о состоянии частей вещи.

Если же рассматривать вещь в движении, то следует учитывать ещё и смещение частей вещи за время прохождения материального сигнала внутри этой вещи — то есть движущаяся в пространстве вещь оказывается не имеющей не только точной локализации во времени, но и точной локализации в пространстве. Единственное утверждение о вещи, которое мы оказываемся в состоянии сделать, заключается в следующем: в определённый интервал времени вещь находилась в определённом объёме пространства. Не правда ли, данный вывод явно что-то напоминает — что-то из области квантовой механики?

Впрочем, дабы не распылять свои силы, оставим пока квантовую механику в стороне и ограничимся рассмотрением только теории относительности, представления которой о Мире требуют гораздо более глубокого анализа, чем только что проделанный мной. Внимательный читатель мог заметить, что, рассуждая о несуществовании в Мире одновременного состояния вещей, я так и не дал определения тому, что же это, собственно, такое — одновременность событий? Я пользовался тут тем, что у человека уже есть какое-то представление об одновременности, и этого представления на первых порах было вполне достаточно. Но настало время подвергнуть более детальному анализу и само понятие одновременности.

Представления об одновременности событий, равно как и любые другие представления человека, заключены в его голове, то есть это в первую очередь не физический, а именно психологический феномен. Соответственно, наша задача заключается в том, чтобы определить: есть ли нам что сопоставить с этим психологическим феноменом в объективном мире? Но для начала нужно разобраться в том, как представления об одновременности событий формируются в голове человека.

Все свои впечатления мы можем ранжировать по критериям "до" и "после" в порядке их возникновения в нашей голове, и только впечатления, связанные друг с другом столь тесно, что мы оказываемся не в состоянии определить, какое из них возникло до, а какое после другого (от изменения порядка их следования в нашем сознании картина наших впечатлений не изменится), мы и называем одновременными.

Но мы верим, что порядок следования впечатлений в нашем сознании есть порядок воздействия на наши органы чувств феноменов внешнего мира, вызывающих данные впечатления. Таким образом, говоря об одновременности впечатлений, мы говорим об одновременности поступления в некую точку пространства (в которой мы, как одна из наиболее сложно организованных вещей Мира, располагаемся) материальных сигналов от неких событий, происходящих с вещами в окружающем мире. Таким образом, психологический феномен одновременности впечатлений имеет в объективном мире вполне реальный прообраз — одновременность поступления нескольких материальных действий в одну точку пространства. Если мы оказываемся не в состоянии различить порядок поступления нескольких материальных действий в определённую точку пространства (к определённой вещи), если мы в равной степени можем утверждать как то, что вещь после своего изменения под действием А приняла на себя действие Б, так и то, что вещь после своего изменения под действием Б приняла на себя действие А, то тогда мы говорим о том, что действия А и Б на рассматриваемую вещь были одновременными, — во всяком случае с той точностью, с которой мы способны фиксировать изменение вещи.

Обращаю внимание на то, что одновременность событий как феномен объективного мира, получивший отражение в сознании человека — это одновременность одноместных событий (пользуясь терминологией СТО), то есть событий, происходящих в одной точке пространства (понятно, что точка — это тоже идеализированный объект, полученный путём пренебрежения размерами вещи, на которую оказывается воздействие). А такая одновременность не относительна, а абсолютна даже в теории относительности, то есть одноместные одновременные события остаются таковыми в любой системе отсчёта.

Но встаёт вопрос: что мы имеем в виду, говоря об одновременности или неодновременности не одноместных, а пространственно разобщённых событий — например, об одновременности событий в туманности Андромеды событиям на Земле?

Этим вопросом Пуанкаре задавался ещё за несколько лет до создания теории относительности. Вот, например, его размышления на эту тему из работы 1900 года "Наука и гипотеза":

"Обычные определения, которые годятся для психологического времени, нас уже не могли бы удовлетворить. Два одновременных психологических факта столь тесно связаны между собой, что анализ не может их разделить, не искажая их. То же ли самое бывает для двух физических фактов? Не ближе ли моё настоящее к моему вчерашнему прошлому, чем к настоящему Сириуса? Говорили также, что два факта должны рассматриваться как одновременные, если порядок их последовательности может быть по желанию переставлен. Очевидно, что это определение не может быть пригодно для двух физических фактов, которые совершаются на больших расстояниях друг от друга, и, — что касается их, — непонятно даже то, что такое может представлять собой эта обратимость; впрочем, надо было бы определить сначала самую последовательность."

Кое-какой критерий распределения во времени событий, произошедших в разных точках пространства, Пуанкаре выдвинул в этой же своей работе:

"Я слышу гром и заключаю, что произошёл электрический разряд; я, не колеблясь, смотрю на это физическое явление как на предшествовавшее звуковому представлению, возникшему в моём сознании, потому что я верю, что оно было причиной последнего. Следовательно, вот правило, которому мы следуем, — единственное правило, которому мы можем следовать: когда одно явление кажется нам причиной другого, мы смотрим на него как на предшествовавшее. Итак, время мы определяем через причину."

Вот тот критерий, по которому мы вправе ранжировать разобщённые в пространстве события — причинно-следственная связь между событиями. Этим критерием и воспользовалась в дальнейшем теория относительности. Так, Вернер Гейзенберг в своей книге "Физика и философия" (М., Наука, 1989) в главе, посвящённой теории относительности, разделил все происходящие в Мире события по их отношению к некоторому рассматриваемому событию на три группы. Первая группа — это Прошлое рассматриваемого события. К этой группе относятся события, действие от которых дошло или могло дойти до рассматриваемого события (до точки в пространстве, в которой происходит событие, в момент его совершения). Вторая группа — Будущее — это события, на которые может повлиять рассматриваемое событие, то есть это события в тех точках пространства и в те моменты времени, в которые до этих точек может дойти действие от рассматриваемого события. И, наконец, третья группа — Настоящее — это события, которые никаким образом не могут оказать воздействие на рассматриваемое нами событие и на которые само это событие не имеет никакого воздействия (ввиду конечности скорости распространения действия любой природы).

На рисунке 1

изображён график, по вертикальной оси которого отложено время t, а по горизонтальной оси отложены пространственные координаты X. Если мы выберем по оси X какую-либо точку пространства, то, перемещаясь по графику в вертикальном направлении, мы будем следить за событиями, происходящими в данной точке в различные моменты времени. Каждую точку на таком графике мы будем называть событием, происходящим в точке пространства с некоторой координатой x в некоторый момент времени t. В центре графика изображено некое событие А, произошедшее в точке пространства с координатой x = 9 в момент времени t = 0. По отношению к этому событию мы и будем рассматривать все остальные события, изображённые на данном графике. Жёлтыми линиями показан путь в пространстве и времени двух световых лучей, приходящих в точку, где происходит событие А, в момент совершения этого события и затем проходящих далее. Эти световые лучи очерчивают собой два конуса (в СТО их называют световыми конусами), расположенных под и над событием А. Несложный анализ показывает, что от всех событий внутри конуса, расположенного под событием А, к событию А может прийти некоторое материальное действие, скорость распространения которого равна или меньше скорости света — то есть события внутри этого конуса оказывают своё влияние на событие А (это прошлое события А). В конусе над событием А расположены события, до которых может дойти действие от события А (распространяющееся со скоростью света или с меньшей скоростью), то есть события, на которые событие А влияет, — это будущее для события А. А вот вне этих двух конусов расположены такие события, которые принципиально не могут оказать никакого воздействия на событие А, и на которые само событие А не может оказать никакого воздействия, поскольку для того, чтобы какое-то материальное действие смогло связать эти точки пространства-времени, действие это должно распространяться со скоростью, большей скорости света (что, понятно, невозможно).

Вот именно среди событий группы Настоящего, событий, которые не имеют никакой причинно-следственной связи с рассматриваемым событием (то есть не существуют для него) в СТО и выбирают те события, которые можно отнести (по критерию, о котором я расскажу чуть позже) к одновременным рассматриваемому событию, и выбор этот оказывается зависимым от скорости движения системы отсчёта, из которой мы рассматриваем ситуацию. События, одновременные событию А в условно "покоящейся" системе отсчёта (в системе отсчёта, пространственно-временные координаты которой изображены на самом графике), лежат на оси X. Синие прямые линии, изображённые на этом графике, показывают, какие события будут считаться одновременными событию А при рассмотрении их из неких других движущихся систем отсчёта. В зависимости от скорости движения системы отсчёта линия одновременных событий может иметь широкий спектр углов наклона, но всегда будет лежать вне световых конусов Прошлого и Будущего, то есть в зоне Настоящего.

На всякий случай отмечаю, что приведение мною примера с данным графиком вовсе не есть моё объяснение сути СТО — так пытаются объяснить СТО физики и математики, начиная с Минковского. На мой взгляд, никаким особым объяснительным потенциалом данные графики не обладают. Полезен же данный график лишь в том плане, что позволяет чётче выделить различия между значениями понятий "прошлое", "настоящее" и "будущее", которые эти понятия имеют в классической физике и в СТО.

В классической физике к Прошлому события А относятся все те события, которые лежат ниже оси X, к Будущему события А относятся все те события, которые лежат выше оси X, а к Настоящему события А относятся все те события, лежащие на самой оси X — то есть одновременные события. Множество событий Настоящего и множество одновременных событий (под множеством имеется в виду математическое понятие) в классической физике совпадают.

Какие события относятся к Прошлому, Настоящему и Будущему события А в терминологии СТО, я описал выше. Из этого описания видно, что, в отличие от классических представлений, Настоящим для события А являются не только одновременные события. Множество событий Настоящего в СТО значительно шире, чем в классических представлениях, и, наоборот — множества событий Прошлого и Будущего значительно сужены.

Такое разграничение множеств событий проводится в СТО строго на основании причинно-следственных связей между событиями, и нетрудно заметить, что при такой классификации можно разделить события только на три группы — четвёртого просто не дано. И, надо признать, классификация событий по признаку причинно-следственной связи кажется мне не менее убедительной, чем классическая, на причинно-следственную связь не опирающаяся, а разграничивающая прошлое и будущее линией событий, одновременных рассматриваемому событию (всё, что ниже линии одновременности — прошлое, всё, что выше — будущее).

Подчёркиваю, что всё это только классификация событий, к которой прибегает сам человек, течение же событий в мире от этих манипуляций человека никак не зависит. Как жизнь животных не зависит от споров учёных, к какому семейству их отнести, так и события в Мире не зависят от того, к какой группе в отношении некоего события мы их относим — группе прошлого, настоящего, будущего, или даже посчитаем "одновременными". Спорить можно только о том, какая классификация имеет под собой более убедительные основания и позволяет нам глубже понять отношения между вещами в Мире.

Данный график может быть полезен ещё и тем, что из него хорошо видно, что даже с точки зрения СТО события в Мире имеют единую последовательность протекания. Все события (точки на графике) никак не изменяются от перевода рассмотрения картины мира из одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) в другую, то есть последовательность протекания событий в каждой конкретной точке пространства не изменяется при смене ИСО, из которой мы рассматриваем события в мире. От смены системы отсчёта зависит только то, как мы проводим по этому графику условную синенькую линию — линию одновременности событий (на всякий случай ещё раз подчёркиваю, что на сами события это наше действие никак не влияет).

А вот теперь наконец и настала пора посмотреть: как мы осуществляем выбор событий, одновременных рассматриваемому событию, среди событий пространственно от него удалённых и не имеющих с ним никакой непосредственной материальной связи? То есть каков используемый нами критерий одновременности разноместных событий?

Получая одновременно два разных впечатления из внешнего Мира, мы понимаем, что те действия в объективном мире, которые вызвали в наших органах чувств эти впечатления, вышли от вещей-источников вовсе не в тот же момент, в который до нас эти действия дошли. Более того, если источники действия находились от нас на разном расстоянии, мы заключаем, что вышли эти действия от источников в разные моменты времени. И только в том случае, когда источники действий, полученных нами одновременно, находились на равных расстояниях от нас, мы заключаем, что и моменты выхода действия были одновременными. Тут мы полагаемся на то, что действие преодолевает одинаковое расстояние за одинаковое время. Обратным образом, если действие от некоего источника проходит при движении к двум точкам пространства одинаковый путь, то мы считаем моменты прихода действия в эти точки пространства одновременными.

На рисунке 2

Мы считаем моменты прихода светового сигнала к наблюдателям А и Б одновременными (а часы А и Б — синхронизированными), если S 1 = S 2 , то бишь если равны пути, пройденные светом от источника до мест событий

изображена схема синхронизации часов световым сигналом. Если световой импульс вышел из источника и прошёл к двум событиям одинаковый путь, то мы считаем такие события одновременными. Именно так синхронизируют часы в СТО, но и до СТО мы бы, не задумываясь, заключили, что приход света к часам А и Б одновременен. (Хотя предложенный мной способ синхронизации часов несколько отличается от описанного Эйнштейном в его первой работе по СТО "К электродинамике движущихся тел", нетрудно показать, что способ Эйнштейна, опирающийся на отражённый сигнал, и предложенный мной способ полностью эквивалентны — но именно к предложенному, а не к зйнштейновскому способу я прибегаю лишь из-за большей наглядности моего способа). Но если посмотреть на ту же ситуацию не с точки зрения земного наблюдателя, а, например, с точки зрения системы отсчёта, связанной с Солнцем, мы увидим ту же ситуацию уже несколько в ином ракурсе (см. рис 3).

Рис. 3

Из-за смещения в пространстве, связанного с суточным и годовым вращением Земли, путь, пройденный светом от источника к часам А и путь, пройденный светом от источника к часам Б, оказывается вовсе не равным. То есть события, которые мы считали одновременными в системе отсчёта, связанной с Землёй, в системе отсчёта, связанной с Солнцем, посчитать таковыми по предложенному нами же критерию уже нельзя. Подчёркиваю, что в Мире ничего не поменялось от перенесения рассмотрения ситуации из ИСО Земли в ИСО Солнца — это мы сами в одном случае считаем приход света к часам А и Б одновременным, а в другом случае мы считаем эти события не одновременными.

Тут читатели этих строк могут мне возразить, что всё дело в том, что в первом случае, определяя одновременность событий в ИСО Земли, мы совершали ошибку — на самом деле это была не "настоящая" одновременность, ибо мы неправомерно посчитали события А и Б одновременными. Настоящую, подлинную одновременность событий мы сможем определить предложенным способом (по равенству путей, пройденных светом от источника к событиям) только в той системе отсчёта, которая связана с той средой, в которой и распространяется световая волна (в системе отсчёта, связанной с абсолютным пространством, в которой скорость света равна во всех направлениях), а синхронизировать часы на Земле мы должны с учётом движения Земли относительно этого абсолютного пространства. Хорошо, пусть так, я не буду возражать. Но как нам обнаружить это абсолютное пространство? Как нам определить скорость Земли относительно него? Ситуация усугубляется ещё и тем, что ни один эксперимент на Земле не позволяет обнаружить движение Земли относительно светоносной среды (как такое может быть, я разъясню в следующих своих "Заметках").

Но даже если считать светоносную среду существующей в действительности, мы должны понимать, что в СТО часы синхронизируются без отыскания этой среды. Когда в СТО говорят об одновременности событий, то речь ведут об одновременности событий, определённой описанным мной выше способом. Это именно такая одновременность относительна (а не одновременность событий, определённая как-то иначе), это именно такую одновременность в СТО используют для синхронизации часов и измерения времени в движущихся системах отсчёта. Именно такое время, которое измеряется с помощью именно такой одновременности, оказывается замедляющимся на движущихся системах отсчёта относительно покоящихся систем отсчёта (об измерении времени в движущихся системах отсчёта я тоже напишу в следующих "Заметках").

Иными словами, способ определения одновременности событий, принятый в СТО (в моей формулировке он выглядит так: события одновременны в некоей ИСО в том случае, если световой сигнал, дошедший до них от одного источника, прошёл в данной ИСО одинаковый путь), есть конвенция, принятая между людьми для удобства измерения той величины, которую мы называем временем. Мы формулируем обнаруженные в природе закономерности с учётом этой конвенции и с учётом вытекающего из неё способа определения времени в движущихся системах отсчёта — то есть сами формулировки Законов Природы оказываются зависимыми от сделанных нами изначальных положений. Вот что такое "конвенционность" Законов Природы по Пуанкаре. Никакого отношения к субъективизму, к отрицанию объективных закономерностей в Природе эта позиция Пуанкаре не имеет. Да, в Природе есть свои, независимые от человека закономерности — точнее, все процессы в Природе закономерны (то есть имеют причину), но человек сам создаёт собственную "систему координат", через призму которой рассматривает мир, относительно которой пытается фиксировать природные закономерности, и полученный результат в виде Законов Природы есть сложный синтез природных закономерностей и способа фиксирования этих закономерностей, выбранного самим человеком. Подчёркиваю, что так формулировать Законы Природы учёные начали не после тлетворного влияния на них Пуанкаре — всю историю науки Законы Природы формулировались именно так, Пуанкаре же только обратил на это внимание учёных.

Что, например, есть закон сохранения энергии, как не конвенция? Заблуждается тот, кто полагает, будто в природе на самом деле имеется некая субстанция (или нечто ещё менее понятное), именуемая энергией, которая сохраняется при протекании процессов различной природы — понятие энергии не имеет никакого прямого отношения к объективному миру. То есть включение в размышления о мире понятия энергии — это способ фиксирования природных закономерностей, удобный человеку, не более того. Ну, ладно, это я отвлёкся, разговор об энергии может слишком далеко увести от темы настоящей заметки, вернусь лучше к понятию одновременности событий.

Итак, приведённая в эпиграфе к настоящей заметке мысль Пенроуза о том, что если для одного прохожего в момент встречи с другим прохожим вылет эскадры из туманности Андромеды одновременен, то для другого прохожего вылет эскадры уже не одновременен, означает не более чем то, что если посмотреть на путь, пройденный светом от некоего источника, расположенного где-то между Землёй и туманностью Андромеды, до указанных событий (встречи пешеходов, с одной стороны, и вылета эскадры — с другой) со стороны одного прохожего, то мы увидим, что путь света от источника до Земли был равен пути света от источника до туманности Андромеды (события одновременны), а с точки зрения другого прохожего, пути эти не равны (события разновременны). Надеюсь, то, почему путь одного и того же фотона оказывается разным в разных ИСО, понятно всем? Если нет, то предлагаю обратиться к примеру с движущимся вагоном.

Если пассажир сделает несколько шагов в движущемся поезде, то в ИСО поезда он пройдёт всего несколько метров, но если мы будем смотреть на движение пассажира из ИСО, связанной с землёй, то относительно земли пешеход пройдёт уже несколько десятков метров.

То же самое происходит со светом и в нашем случае. Из-за движения одного пешехода по направлению движения света, а другого против этого направления, путь, пройденный светом от источника до пешеходов, оказывается разной длины с точки зрения этих пешеходов, а потому и мнения об одновременности или неодновременности событий, синхронизированных этим лучом света, будут различны у разных прохожих. Увы, вся "чудесность" теории относительности улетучивается прямо на глазах (если, конечно, я смог донести свои мысли до читателя правильно).

Только не следует думать, что на методе синхронизации событий светом вся СТО и заканчивается — точнее, что все "чудеса" СТО вытекают именно из метода синхронизации событий. Конечно, нет — результат эксперимента Майкельсона-Морли не может быть интерпретирован как следствие конвенции о синхронизации часов. Отделить определённые свойства Мира, вскрытые благодаря СТО, от следствий метода установления одновременности событий, введённом в СТО, я попытаюсь в следующих своих "Заметках".

Текст этой моей заметки "Об одновременности событий" оказался достаточно длинным, и возможно, кто-то из читателей начал терять логическую нить по ходу чтения. Потому теперь я кратко и последовательно изложу те основные идеи, которые хотел донести до читателя.

1. Все представления о Мире (в том числе и такие, как "существует ли Мир в виде мгновенного состояния, называемого настоящим, или нет?") нужно брать только из опыта (конечно, не пренебрегая и логическими выводами).

2. Критический анализ опыта показывает, что одновременное мгновенное состояние Мира и даже отдельной вещи никак опытом не обнаруживается.

3. Понятие одновременности событий, имеющееся в голове человека — это отражение имеющего место в объективном мире феномена одновременного поступления действия в некую точку пространства. То бишь одновременность, обнаруживаемая опытом, — это одновременность одноместных событий.

4. Для событий, происходящих в пространственно разделённых точках, мы не имеем непосредственного ощущения, позволяющего произвести распределение этих событий во времени. Критерий, по которому можно сопоставлять во времени пространственно разделённые события — это логический критерий: причинно-следственная связь. Всё, что было причиной некоего события, есть Прошлое; всё, что станет следствием этого события, есть Будущее. А события, между которыми нет причинно-следственной связи, не относятся ни к прошлому, ни к будущему, и их, эту группу событий, в СТО условно называют Настоящим.

5. Мы не имеем непосредственного ощущения одновременности или неодновременности событий для пространственно разобщённых событий, не связанных причинно-следственно друг с другом, а потому мы сами для целей измерения времени по некоему логическому критерию связываем друг с другом события, которые называем одновременными.

6. В СТО события называются одновременными в том случае, если световой импульс, вышедший из одного источника, по достижении данных событий прошёл одинаковый путь в пространстве.

7. Из-за смещения движущейся системы отсчёта относительно условно покоящейся системы отсчёта длина пути света в покоящейся и в движущейся системах отсчёта оказывается разной — следовательно, заключение об одновременности или о неодновременности событий, сделанное на основе критерия, изложенного в пункте 6, оказывается зависимым от системы отсчёта, из которой производится рассмотрение событий.

>> Относительность одновременности

§ 77 ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ

До начала XX в. никто не сомневался, что время абсолютно. Два события, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности привело к выводу о том, что это не так.

Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения привычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом совершенно независимо от материи и ее движения , оказывается неправильным.

Если допустить возможность мгновенного распространения сигналов, то утверждение, что события в двух пространственно разделенных точках А и В произошли одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигналов. Если такой сигнал отправлен из точки А, например, в 0 ч 45 мин и он в этот же момент времени по часам В пришел в точку В, то, значит, часы показывают одинаковое время, т. е. идут синхронно. Если же такого совпадения нет, то часы можно синхронизировать, подведя вперед те часы, которые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.

Любые события, например два удара молнии, одновременны, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.

Только располагая в точках А и В синхронизированные часы, можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точках одновременно или нет. Но как можно синхронизировать часы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, если скорость распространения сигналов не бесконечно велика?

Для синхронизации часов естественно использовать световые или вообще электромагнитные сигналы, так как скорость электромагнитных волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.

Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сигналы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными эталонными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вычислить поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень мала. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь заметной роли. Но при огромных космических расстояниях она может оказаться весьма существенной.

Рассмотрим подробнее простой метод синхронизации часов, не требующий никаких вычислений. Допустим, что космонавт хочет узнать, одинаково ли идут часы А и В, установленные на противоположных концах космического корабля. Для этого с помощью источника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его середине, космонавт производит вспышку . Свет одновременно достигает тех и других часов. Если показания часов в этот момент одинаковы, то часы идут синхронно.

Но так будет лишь в системе отсчета К 1 , связанной с кораблем. В системе же отсчета К, относительно которой корабль движется, положение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла вспышка света источника (точка с координатой ОС), и, чтобы достигнуть часов А, свет должен преодолеть расстояние, больше половины длины корабля (рис. 9.2). Напротив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь (светового сигнала меньше половины длины корабля. (На рисунке 9.2, а координаты х и х 1 совпадают в момент вспышки; на рисунке 9.2, б показано положение систем отсчета в момент, когда свет достигает часов В.) Поэтому наблюдатель, находящийся в системе К, сделает вывод: сигналы достигают тех и других часов не одновременно.

Два любых события в точках А и В, одновременные в системе отсчета К1, неодновременны в системе К. Но согласно принципу относительности системы п К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем отсчета нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов.

Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами, о котором шла речь в § 76. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы К. С точки же зрения наблюдателя, связанного с системой К 1 , свет достигает этих точек в разные моменты времени.

Разумеется, справедливо и обратное: с точки зрения наблюдателя в системе отсчета К свет достигает точек поверхности сферы с центром в точке О 1 в различные моменты времени, а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе отсчета К 1 .

Отсюда следует вывод, что никакого парадокса в действительности нет.

Одновременность событий относительна. Представить себе это наглядно, «почувствовать», мы не в состоянии из-за того, что скорость света много больше тех скоростей, с которыми привыкли двигаться мы.

Какие события называются одновременными!

Относительность одновременности

Цель урока: формировать новые представления о пространстве и времени; теория относительности доказала, что события одновременные для жителей Земли могут быть не одновременны для жителей другой космической цивилизации.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания методом фронтального опроса

А) Для какой цели многие ученые пытались обнаружить движение Земли относительно эфира?

Б) Как подошел к проблеме «найти различие между инерциальными системами» А. Эйнштейн?

В) Сформулировать главный постулат теории относительности.

Г) Сформулировать второй постулат теории относительности.

Д) Почему публикация постулатов теории относительности требовала определенной научной смелости?

Е) Рассмотреть пример, когда наблюдатели видят центр сферы в разных точках пространства.

Ж) В чем суть противоречия с последним примером?

2.Изучение нового материала

А) Традиционно считалось что время – это величина абсолютная, и течет оно раз и навсегда заданным темпом. Но создание теории относительности показало, что это не так.

Б) Дело в том, что классические представления о времени и пространстве исходили из предположения о возможности мгновенной передачи сигналов и взаимодействий из одного места пространства в другое. Второй постулат о скорости света требует изменения обыденных представлений о пространстве и времени.

Не идет время раз и навсегда заданным темпом. Если бы сигнал передавался мгновенно, то можно было бы говорить об одновременности событий происшедших в пространственно разделенных местах. Даже часы синхронизировать можно было бы абсолютно точно при мгновенной передаче сигнала. Пусть мгновенный сигнал пошел из точки А в 12 часов 10 минут и пришел в точку В в это же время, то часы размещенные в этих точках – синхронны.

События происходят одновременно, если синхронные часы показывают одно и то же время.

Синхронизировать часы помогают электромагнитные сигналы, так как скорость их строго определенная и постоянная. При проверке часов по радио используют синхронизацию огромного количества часов с эталонными точными часами. Можно вычислить поправку на запаздывание сигнала, если знать на каком расстоянии от вас находятся эталонные часы. Эта поправка в обыденной жизни не имеет значения. Она может быть значимой только при больших космических расстояниях.

Рассмотрим один из методов синхронизации часов.

На космическом корабле на, противоположных концах, установлены часы А и В. Космонавт хочет проверить синхронно ли они идут. В середине корабля расположен источник света, с помощью которого космонавт производит вспышку. Если свет одновременно достигает часов, значит, часы работают синхронно. Так будет только в системе отсчета К 1

Если рассматривать движение корабля относительно системы отсчета К, все будет по другому.

От места, где произошла вспышка (точка с координатой ОС) часы, расположенные на носу корабля удаляются. Световая волна должна пройти расстояние большее, чем половина длины корабля, чтобы дойти до часов. К месту вспышки приближаются часы В, расположенные на корме корабля, Значит в этом случае световая волна пройдет расстояние меньше, чем половина длины корабля.

На рисунке а) координаты х 1 и х в момент вспышки совпадают.

На рисунке б) видно, как световая волна доходит до часов, расположенных на корме.

Другой космонавт из системы отсчета К видит, что световые сигналы доходят до часов не -одновременно.

Значит любые события одновременные в системе К 1 , неодновременны в системе К.

Равноправность систем К 1 и К вытекает из принципа относительности, т.е. эти системы совершенно равноправны. На основании этого делаем заключение: одновременность событий, разделенных пространственно, относительна.

Мы живем в мире скоростей, гораздо меньших, чем скорости световых волн, поэтому представить наглядно относительность одновременности событий очень трудно. Но тем не менее, одновременность событий относительна.

3. Закрепление изученного материала

А) Почему оказались несостоятельными классические представления о том, что время – абсолютно?

Б) Как производят синхронизацию часов?

В) Доказательство, что одновременность событий относительно.

Подведем итоги урока.

Домашнее задание:

ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ

До начала XX века никто не сомневался, что время абсолютно. Два события, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности показало, что это не так.

Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения обычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и ее движения, оказывается неправильным.

Если допустить мгновенное распространение сигналов, то утверждение, что события в двух пространственно разделенных точках А и В произошли одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигналив. Если такой сигнал отправлен из А , например, в 0 ч 45 мин и он в этот же момент времени по часам В пришел в точку В , то, значит, часы показывают одинаковое время, т. е. идут синхронно. Если же такого совпадения нет, то часы можно синхронизировать, подведя вперед те часы, которые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.

Любые события, например два удара молнии, одновременны, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.

Только располагая в точках А и В синхронизированными часами, можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точках одновременно или нет. Но как можно синхронизировать часы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, если скорость распространения сигналов не бесконечно велика?

Для синхронизации часов естественно прибегнуть к световым или вообще электромагнитным сигналам, так как скорость электромагнитных волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.

Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сигналы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными эталонными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вычислить поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень невелика. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь заметной роли. Но при огромных космических расстояниях она может оказаться весьма существенной.

Рассмотрим подробнее простой метод синхронизации часов, не требующий никаких вычислений. Допустим, что космонавт хочет узнать, одинаково ли идут часы А и В , установленные на противоположных концах космического корабля (рис. 40). Для этого с помощью источника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его середине, космонавт и производит вспышку света. Свет одновременно достигает обоих часов. Если показания часов в этот момент одинаковы, то часы идут синхронно.

Рис. 40

Но так будет лишь относительно системы отсчета К 1 , связанной с кораблем. В системе же отсчета К , относительно которой корабль движется, положение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла вспышка света источника (точка с координатой ОС ), и чтобы достигнуть часов А , свет должен преодолеть расстояние, большее половины длины корабля (рис. 41, а, 6). Напротив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь светового сигнала меньше половины длины корабля. (На рис. 41, а координаты х и х 1 совпадают в момент вспышки; на рис. 41, б показано положение систем отсчета, когда свет достигает часов В .) Поэтому наблюдатель в системе К придет к выводу, что сигналы достигают обоих часов не одновременно.

Рис. 41

Два любых события в точках А и В , одновременные в системе К 1 не одновременны в системе К . Но в силу принципа относительности системы К 1 и К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов.

Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы К . С точки зрения же наблюдателя, связанного с системой K 1 , свет достигает этих точек в разные моменты времени.

Разумеется, справедливо и обратное: в системе К свет достигает точек поверхности сферы с центром в O 1 в различные моменты времени, а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе К 1 .

Отсюда следует, что никакого парадокса в действительности нет.

Одновременность событий относительна. Представить себе это наглядно, «почувствовать», мы не в состоянии из-за того, что скорость света много больше тех скоростей, с которыми движемся мы.

ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПОСТУЛАТОВ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Из постулатов теории относительности вытекает ряд важнейших следствий, касающихся свойств пространства и времени. Мы не будем останавливаться на сравнительно сложном обосновании этих следствий. Ограничимся лишь кратким их перечислением.

Относительность расстояний

Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета.

Обозначим через l 0 длину стержня в системе отсчета К, относительно которой стержень покоится. Тогда длина l этого стержня в системе отсчета К 1 , относительно которой стержень движется со скоростью , определяется формулой

(2.1)

Как видно из этой формулы, l > l 0 .В этом состоит релятивистское сокращение размеров тела в движущихся системах отсчета (релятивистскими называются эффекты, наблюдаемые при скоростях движения, близких к скорости света).

Относительность промежутков времени

Пусть интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке инерциальной системы К , равен  0 . Этими событиями, например, могут быть два удара метронома, отсчитывающего секунды.

Тогда интервал  между этими же событиями в системе отсчета K 1 , движущейся относительно системы К со скоростью , выражается так:

(2.2)

Очевидно, что  >  0 . В этом состоит релятивистский эффект замедления времени в движущихся системах отсчета.

Если  <<с, то в формулах (2.1) и (2.2) можно пренебречь величиной . Тогда l  l 0 и  0 , т. е. релятивистское сокращение размеров тел и замедление времени в движущейся системе отсчета можно не учитывать.

Релятивистский закон сложения скоростей

Новым релятивистским представлениям о пространстве и времени соответствует новый закон сложения скоростей. Очевидно, что классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, так как он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме.

Если поезд движется со скоростью и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительно Земли должна равняться опять-таки , а не . Новый закон сложения скоростей и должен приводить к требуемому результату.

Мы запишем закон сложения скоростей для частного случая, когда тело движется вдоль оси Х 1 системы отсчета К 1 , которая в свою очередь движется со скоростью относительно системы отсчета К . Причем в процессе движения координатные оси Х и Х 1 все время совпадают, а координатные оси Y и Y 1 , Z и Z 1 остаются параллельными (рис. 42).

Рис. 42

Обозначим скорость тела относительно К 1 через  1 , а скорость этого же тела относительно К через  2 . Тогда релятивистский закон сложения скоростей будет иметь вид

(2.3)

Если  <<с и  1 <<с , то членом в знаменателе можно пренебречь, и вместо (2.3) получим классический закон сложения скоростей:  2 =  1 +  .

При  1 =с скорость  2 также равна с , как этого требует второй постулат теории относительности. Действительно,

Замечательным свойством релятивистского закона сложения скоростей является то, что при любых скоростях  1 и  (конечно, не больших с) результирующая скорость  2 не превышает с .

Релятивистский закон сложения скоростей справедлив, но не нагляден. Представьте себе большую космическую ракету, движущуюся относительно Земли со скоростью, близкой к скорости света с. С нее стартует малая ракета и приобретает скорость, близкую к с относительно большой ракеты. Однако скорость малой ракеты относительно Земли окажется почти такой же, как и большой.

? 1 . При каких скоростях движения релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический (закон Галилея)? 2 . В чем состоит принципиальное отличие скорости света от скоростей движения всех тел?

? Какие события называются одновременными?

Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет! И вот явился Ньютон.
Эпиграмма XVIII в.

Но сатана недолго ждал реванша.
Пришел Эйнштейн - и стало все, как раньше.
Эпиграмма XX в.

Постулаты теории относительности

Постулат (аксиома) - фундаментальное утверждение, лежащее в основе теории и принимаемое без доказательств.

Первый постулат: все законы физики, описывающие любые физические явления, должны во всех инерциальных системах отсчета иметь одинаковый вид.

Этот же постулат можно сформулировать иначе: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково.

Второй постулат: во всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одинакова и не зависит от скорости движения как источника, так и приемника света. Эта скорость является предельной скоростью всех процессов и движений, сопровождаемых переносом энергии.

Закон взаимосвязи массы и энергии

Релятивистская механика - раздел механики, изучающий законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света.

Любое тело, благодаря факту своего существования, обладает энергией, которая пропорциональна массе покоя.

Что такое теория относительности (видео)

Следствия теории относительности

Относительность одновременности. Одновременность двух событий относительна. Если события, происшедшие в разных точках, одновременны в одной инерциальной системе отсчета, то они могут быть не одновременными в других инерциальных системах отсчета.

Сокращение длины. Длина тела, измеренная в системе отсчета K", в которой оно покоится, больше длины в системе отсчета K, относительно которой K" движется со скоростью v вдоль оси Ох:

Замедление времени. Промежуток времени, измеренный часами, неподвижными в инерциальной системе отсчета K", меньше промежутка времени, измеренного в инерциальной системе отсчета K, относительно которой K" движется со скоростью v:

Теория относительности

материал из книги Стивена Хокинга и Леонарда Млодинова "Кратчайшая история времени"

Относительность

Фундаментальный постулат Эйнштейна, именуемый принципом относительности, гласит, что все законы физики должны быть одинаковыми для всех свободно движущихся наблюдателей независимо от их скорости. Если скорость света постоянная величина, то любой свободно движущийся наблюдатель должен фиксировать одно и то же значение независимо от скорости, с которой он приближается к источнику света или удаляется от него.

Требование, чтобы все наблюдатели сошлись в оценке скорости света, вынуждает изменить концепцию времени. Согласно теории относительности наблюдатель, едущий на поезде, и тот, что стоит на платформе, разойдутся в оценке расстояния, пройденного светом. А поскольку скорость есть расстояние, деленное на время, единственный способ для наблюдателей прийти к согласию относительно скорости света – это разойтись также и в оценке времени. Другими словами, теория относительности положила конец идее абсолютного времени! Оказалось, что каждый наблюдатель должен иметь свою собственную меру времени и что идентичные часы у разных наблюдателей не обязательно будут показывать одно и то же время.

Говоря, что пространство имеет три измерения, мы подразумеваем, что положение точки в нем можно передать с помощью трех чисел – координат. Если мы введем в наше описание время, то получим четырехмерное пространство-время.

Другое известное следствие теории относительности – эквивалентность массы и энергии, выраженная знаменитым уравнением Эйнштейна Е = mс2 (где Е– энергия, m – масса тела, с – скорость света). Ввиду эквивалентности энергии и массы кинетическая энергия, которой материальный объект обладает в силу своего движения, увеличивает его массу. Иными словами, объект становится труднее разгонять.

Этот эффект существенен только для тел, которые перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. Например, при скорости, равной 10% от скорости света, масса тела будет всего на 0,5% больше, чем в состоянии покоя, а вот при скорости, составляющей 90% от скорости света, масса уже более чем вдвое превысит нормальную. По мере приближения к скорости света масса тела увеличивается все быстрее, так что для его ускорения требуется все больше энергии. Согласно теории относительности объект никогда не сможет достичь скорости света, поскольку в данном случае его масса стала бы бесконечной, а в силу эквивалентности массы и энергии для этого потребовалась бы бесконечная энергия. Вот почему теория относительности навсегда обрекает любое обычное тело двигаться со скоростью, меньшей скорости света. Только свет или другие волны, не имеющие собственной массы, способны двигаться со скоростью света.

Искривленное пространство

Общая теория относительности Эйнштейна основана на революционном предположении, что гравитация не обычная сила, а следствие того, что пространство-время не является плоским, как принято было думать раньше. В общей теории относительности пространство-время изогнуто или искривлено помещенными в него массой и энергией. Тела, подобные Земле, движутся по искривленным орбитам не под действием силы, именуемой гравитацией.

Так как геодезическая линия – кратчайшая линия между двумя аэропортами, штурманы ведут самолеты именно по таким маршрутам. Например, вы могли бы, следуя показаниям компаса, пролететь 5966 километров от Нью-Йорка до Мадрида почти строго на восток вдоль географической параллели. Но вам придется покрыть всего 5802 километра, если вы полетите по большому кругу, сперва на северо-восток, а затем постепенно поворачивая к востоку и далее к юго-востоку. Вид этих двух маршрутов на карте, где земная поверхность искажена (представлена плоской), обманчив. Двигаясь «прямо» на восток от одной точки к другой по поверхности земного шара, вы в действительности перемещаетесь не по прямой линии, точнее сказать, не по самой короткой, геодезической линии.

Если траекторию космического корабля, который движется в космосе по прямой линии, спроецировать на двумерную поверхность Земли, окажется, что она искривлена.

Согласно общей теории относительности гравитационные поля должны искривлять свет. Например, теория предсказывает, что вблизи Солнца лучи света должны слегка изгибаться в его сторону под воздействием массы светила. Значит, свет далекой звезды, случись ему пройти рядом с Солнцем, отклонится на небольшой угол, из-за чего наблюдатель на Земле увидит звезду не совсем там, где она в действительности располагается.

Напомним, что согласно основному постулату специальной теории относительности все физические законы одинаковы для всех свободно двигающихся наблюдателей, независимо от их скорости. Грубо говоря, принцип эквивалентности распространяет это правило и на тех наблюдателей, которые движутся не свободно, а под действием гравитационного поля.

В достаточно малых областях пространства невозможно судить о том, пребываете ли вы в состоянии покоя в гравитационном поле или движетесь с постоянным ускорением в пустом пространстве.

Представьте себе, что вы находитесь в лифте посреди пустого пространства. Нет никакой гравитации, никакого «верха» и «низа». Вы плывете свободно. Затем лифт начинает двигаться с постоянным ускорением. Вы внезапно ощущаете вес. То есть вас прижимает к одной из стенок лифта, которая теперь воспринимается как пол. Если вы возьмете яблоко и отпустите его, оно упадет на пол. Фактически теперь, когда вы движетесь с ускорением, внутри лифта все будет происходить в точности так же, как если бы подъемник вообще не двигался, а покоился бы в однородном гравитационном поле. Эйнштейн понял, что, подобно тому как, находясь в вагоне поезда, вы не можете сказать, стоит он или равномерно движется, так и, пребывая внутри лифта, вы не в состоянии определить, перемещается ли он с постоянным ускорением или находится в однородном гравитационном поле. Результатом этого понимания стал принцип эквивалентности.

Принцип эквивалентности и приведенный пример его проявления будут справедливы лишь в том случае, если инертная масса (входящая во второй закон Ньютона, который определяет, какое ускорение придает телу приложенная к нему сила) и гравитационная масса (входящая в закон тяготения Ньютона, который определяет величину гравитационного притяжения) суть одно и то же.

Использование Эйнштейном эквивалентности инертной и гравитационной масс для вывода принципа эквивалентности и, в конечном счете, всей общей теории относительности – это беспрецедентный в истории человеческой мысли пример упорного и последовательного развития логических заключений.

Замедление времени

Еще одно предсказание общей теории относительности состоит в том, что около массивных тел, таких как Земля, должен замедляться ход времени.

Теперь, познакомившись с принципом эквивалентности, мы можем проследить ход рассуждений Эйнштейна, выполнив другой мысленный эксперимент, который показывает, почему гравитация воздействует на время. Представьте себе ракету, летящую в космосе. Для удобства будем считать, что ее корпус настолько велик, что свету требуется целая секунда, чтобы пройти вдоль него сверху донизу. И наконец, предположим, что в ракете находятся два наблюдателя: один – наверху, у потолка, другой – внизу, на полу, и оба они снабжены одинаковыми часами, ведущими отсчет секунд.

Допустим, что верхний наблюдатель, дождавшись отсчета своих часов, немедленно посылает нижнему световой сигнал. При следующем отсчете он шлет второй сигнал. По нашим условиям понадобится одна секунда, чтобы каждый сигнал достиг нижнего наблюдателя. Поскольку верхний наблюдатель посылает два световых сигнала с интервалом в одну секунду, то и нижний наблюдатель зарегистрирует их с таким же интервалом.

Что изменится, если в этом эксперименте, вместо того чтобы свободно плыть в космосе, ракета будет стоять на Земле, испытывая действие гравитации? Согласно теории Ньютона гравитация никак не повлияет на положение дел: если наблюдатель наверху передаст сигналы с промежутком в секунду, то наблюдатель внизу получит их через тот же интервал. Но принцип эквивалентности предсказывает иное развитие событий. Какое именно, мы сможем понять, если в соответствии с принципом эквивалентности мысленно заменим действие гравитации постоянным ускорением. Это один из примеров того, как Эйнштейн использовал принцип эквивалентности при создании своей новой теории гравитации.

Итак, предположим, что наша ракета ускоряется. (Будем считать, что она ускоряется медленно, так что ее скорость не приближается к скорости света.) Поскольку корпус ракеты движется вверх, первому сигналу понадобится пройти меньшее расстояние, чем прежде (до начала ускорения), и он прибудет к нижнему наблюдателю раньше чем через секунду. Если бы ракета двигалась с постоянной скоростью, то и второй сигнал прибыл бы ровно настолько же раньше, так что интервал между двумя сигналами остался бы равным одной секунде. Но в момент отправки второго сигнала благодаря ускорению ракета движется быстрее, чем в момент отправки первого, так что второй сигнал пройдет меньшее расстояние, чем первый, и затратит еще меньше времени. Наблюдатель внизу, сверившись со своими часами, зафиксирует, что интервал между сигналами меньше одной секунды, и не согласится с верхним наблюдателем, который утверждает, что посылал сигналы точно через секунду.

В случае с ускоряющейся ракетой этот эффект, вероятно, не должен особенно удивлять. В конце концов, мы только что его объяснили! Но вспомните: принцип эквивалентности говорит, что то же самое имеет место, когда ракета покоится в гравитационном поле. Следовательно, да-же если ракета не ускоряется, а, например, стоит на стартовом столе на поверхности Земли, сигналы, посланные верхним наблюдателем с интервалом в секунду (согласно его часам), будут приходить к нижнему наблюдателю с меньшим интервалом (по его часам). Вот это действительно удивительно!

Гравитация изменяет течение времени. Подобно тому как специальная теория относительности говорит нам, что время идет по-разному для наблюдателей, движущихся друг относительно друга, общая теория относительности объявляет, что ход времени различен для наблюдателей, находящихся в разных гравитационных полях. Согласно общей теории относительности нижний наблюдатель регистрирует более короткий интервал между сигналами, потому что у поверхности Земли время течет медленнее, поскольку здесь сильнее гравитация. Чем сильнее гравитационное поле, тем больше этот эффект.

Наши биологические часы также реагируют на изменения хода времени. Если один из близнецов живет на вершине горы, а другой – у моря, первый будет стареть быстрее второго. В данном случае различие в возрастах будет ничтожным, но оно существенно увеличится, коль скоро один из близнецов отправится в долгое путешествие на космическом корабле, который разгоняется до скорости, близкой к световой. Когда странник возвратится, он будет намного моложе брата, оставшегося на Земле. Этот случай известен как парадокс близнецов, но парадоксом он является только для тех, кто держится за идею абсолютного времени. В теории относительности нет никакого уникального абсолютного времени – для каждого индивидуума имеется своя собственная мера времени, которая зависит от того, где он находится и как движется.

C появлением сверхточных навигационных систем, получающих сигналы от спутников, разность хода часов на различных высотах приобрела практическое значение. Если бы аппаратура игнорировала предсказания общей теории относительности, ошибка в определении местоположения могла бы достигать нескольких километров!

Появление общей теории относительности в корне изменило ситуацию. Пространство и время обрели статус динамических сущностей. Когда перемещаются тела или действуют силы, они вызывают искривление пространства и времени, а структура пространства-времени, в свою очередь, сказывается на движении тел и действии сил. Пространство и время не только влияют на все, что случается во Вселенной, но и сами от всего этого зависят.

Время возле черной дыры

Представим себе бесстрашного астронавта, который остается на поверхности коллапсирующей звезды во время катастрофического сжатия. В некоторый момент по его часам, скажем в 11:00, звезда сожмется до критического радиуса, за которым гравитационное поле усиливается настолько, что из него невозможно вырваться. Теперь предположим, что по инструкции астронавт должен каждую секунду по своим часам посылать сигнал космическому кораблю, который находится на орбите на некотором фиксированном расстоянии от центра звезды. Он начинает передавать сигналы в 10:59:58, то есть за две секунды до 11:00. Что зарегистрирует экипаж на борту космического судна?

Ранее, проделав мысленный эксперимент с передачей световых сигналов внутри ракеты, мы убедились, что гравитация замедляет время и чем она сильнее, тем значительнее эффект. Астронавт на поверхности звезды находится в более сильном гравитационном поле, чем его коллеги на орбите, поэтому одна секунда по его часам продлится дольше секунды по часам корабля. Поскольку астронавт вместе с поверхностью движется к центру звезды, действующее на него поле становится все сильнее и сильнее, так что интервалы между его сигналами, принятыми на борту космического корабля, постоянно удлиняются. Это растяжение времени будет очень незначительным до 10:59:59, так что для астронавтов на орбите интервал между сигналами, переданными в 10:59:58 и в 10:59:59, очень ненамного превысит секунду. Но сигнала, отправленного в 11:00, на корабле уже не дождутся.

Все, что произойдет на поверхности звезды между 10:59:59 и 11:00 по часам астронавта, растянется по часам космического корабля на бесконечный период времени. С приближением к 11:00 интервалы между прибытием на орбиту последовательных гребней и впадин испущенных звездой световых волн станут все длиннее; то же случится и с промежутками времени между сигналами астронавта. Поскольку частота излучения определяется числом гребней (или впадин), приходящих за секунду, на космическом корабле будет регистрироваться все более и более низкая частота излучения звезды. Свет звезды станет все больше краснеть и одновременно меркнуть. В конце концов звезда настолько потускнеет, что сделается невидимой для наблюдателей на космическом корабле; все, что останется, – черная дыра в пространстве. Однако действие тяготения звезды на космический корабль сохранится, и он продолжит обращение по орбите.

Относительность одновременности событий

В механике Ньютона одновременность двух событий абсолютна и не зависит от системы отсчёта. Это значит, что если два события происходят в системе Kв моменты времениtиt 1 , а в системеK’ соответственно в моменты времениt’ иt’ 1 , то посколькуt=t’, промежуток времени между двумя событиями одинаков в обеих системах отсчёта

В отличие от классической механики, в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.

Понятие одновременности пространственно разделенных событий относительно. Из постулатов теории относительности и существования конечной скоростираспространения сигналов следует, что в разныхинерциальных системах отсчёта время протекает по-разному.

Постулаты Эйнштейна

(принцип относительности)

1й постулат . Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета(уравнения, выражающие законы природы инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной системы отсчета к другой)

(обобщение механики относительности Галилея на всю природу)

2й постулат . Свет распространяется со скоростью с = с onst , не зависит от состояния движения излучающего тела.

Скорость света во всех системах отсчета постоянна.

По Галилею:

x / = x + vt ; y = y / ; z = z / . t = t / .

Отсчет времени в обеих системах с момента, когда начала систем О и О / совпадали. Пусть в момент t = t / =0 из совпадающих начал послан световой сигнал по всем направлениям. К моменту t сигнал в К достигнет точек, отстоящих от О на растоянии ct.

Координаты радиуса-вектора в трехмерной системе координат

r 2 = x 2 + y 2 + z 2

Если при t = 0 запускаем световой сигнал со скоростью света c; ct – расстояние, которое пройдет свет в системе k и окажется в точки с координатами r.

Квадрат радиуса будет иметь вид

r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ; координаты точек удовлетворяют уравнению

Аналогично в системе k / :

(x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 = c 2 (t /) 2

Уравнения имеют одинаковый вид в обеих системах отсчета

c 2 t 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0

c 2 (t /) 2 - (x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 =0

если подставить преобразования Галилея в эти уравнения, то убеждаемся, что эти преобразования не совместимы с принципом постоянства скорости света.

Уравнения Ньютона удовлетворяют преобразованиям Галилея(инвариант)

Уравнения Максвелла не удовлетворяют преобразованиям Галилея. Эйнштейн определил преобразования релятивистской механики на основе постулатов.

Интервал

Событие определяется местом(координаты и время)

Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой

А линия, описывающая положение точки – мировая линия.

x 0 2 – x 1 2 – x 2 2 – x 3 2 = 0 - четырехмерие.

световой конус будущего

область абсолютно удаленных от А событий

(за пределами конуса

световой конус прошлого

На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого

Линия, которую описывает частица, называется мировой.

А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.

Событие – следствие – это путь в будущее

Событие –причина – это путь в прошлое

Пространство-время – это пространство Минковского.

Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.

Пусть событие – Если свет в момент t 1 из точки с координатами (x 1 , y 1 , z 1), а в момент t 2 частица имеет координаты (x 2 , y 2 , z 2), то в системе между координатами и временем имеем соотношение

c 2 (t 2 - t 1) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2

расстояние(интервал) между точками

l 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 .

по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве

(s 12) 2 = c 2 (t 2 - t 1) 2 - (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 - 4–интервал - четырех-интервал

Квадрат интервала

dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (инвариант).

Интервал в любой СО является инвариантом.

Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю

ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2 =0

Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К" систем отсчета. Если ds = 0, то и ds" = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь

В системах k и k / интервалы связаны неким линейным соотношением.

Или наоборот

Перемножая

dsds / =   ds / ds; откуда

   

Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то

Инвариантны, что и требоалось доказать.

Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.

Используя инвариантность интервала, запишем

ds 2 = c 2 d t 2 - dl 2 = c 2 d(t /) 2 – d(l /) 2

Пусть ds 2 > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К" где dl / = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К" dt / = ds/c.

Вещественные интервалы --временеподобные

ds 2 > 0 - временеподобный интервал.

Если ds 2 < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К" , в которой d t / = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К"

dl" = is - расстояние между событиями.

Мнимые интервалы называются пространственноподобными .

ds 2 < 0 – пространственноподобный интервал.S 2 < 0

События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.

Поскольку

V част < C

и пройденое расстояние l < ct, отсюда ds 2 > 0.

Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.

Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К" , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет

Где dt" – измерен по часам в системе К", движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать

Поскольку ds – инвариант, а с=const, то d - инвариант.

Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К

d   c 2 d t 2 - dl 2 / c 2 = (c 2 - dl 2 / d t 2) d t / c 2

Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость

Получим для квадрата времени

d  = (1- V 2 /c 2)dt 2

d= dt √(1- V 2 /c 2)

Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)

Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.

Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.

c 2 T 2 = V 2 T 2 +   c 2

Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.

  c 2 T 2 - V 2 T 2 / c 2 = T 2 (1 - V 2 /c 2)

Если же скорость изменяется (V = var):

 t 1 ∫ t 2 (1 - V 2 /c 2) 1/2 dt

Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве

2. Многомерный вектор

Квадрат радиус-вектора определяется как

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = x i 2 (1)

Если ввести тензор вида

g ij =  ik = - метрический тензор. (2)

то(1) записываем в виде

для i , k =1,n

 g ik x i x k (3)

В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором

Лекция №8

псевдоэвклидовым

Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3

Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)

(x o ,x 1, x 2 ,x 3) – 4-прстранство

Обозначения

x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z

действие матричного оператора на вектор- в результате вектор

- вектор четырехмерного пространства

Выражение для результирующего вектора имеет вид

r = ct – x – y – z

алгебраическая запись действия матричного оператора

x=
/ = ct / - x 1 / - x 2 / - x 3 /

Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.

Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве

- инвариант

- матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой)

- прямое преобразование (8)

- обратное преобразование

Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора (интервала) запишем

подставим
из(8)

(11)

(12)

после преобразований получим условие для линейного преобразования

(13)

Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены

(13) препишем в упрощенной форме

,1,2,3 (14)

например при , 1- при , при =1, =2

(15)

1,2 – следствия из условия неинвариантности

Связь между прямым и обратным преобразованием:

; -прямое преобразование (17)

-обратное преобразование

где
=1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица

Компоненту можно представить в виде

Тогда можно записать

,1,2,3 (20)

Система справедлива(удовлетворяется) если положить

например, при = уравнение(20) выглядит в виде

(22)

С учетом (21)

a 00 a 00 -∑ 1 3 a i 0 a i 0 =1 (23)

что аналогично (15)

При =1, 2

∑ 1 3 a 1ρ a ρ 2 =0 (24)

Откуда с учетом (21)

A 10 a 02 +∑ 1 3 a i 1 a i 2 =0 - что похоже на (16)

Условие (21) можно записать в виде

При =0, 0

a" 00 = a 00 (g 00 =g 00 =1)

При =0, i ≠0 как и при =i≠0, 0

будет выполняться

g μμ =-g νν , т.е. -1

А при = i ≠ 0, ≠ 0

Оба множителя равны -1

g μμ =g νν = -1

(что в (21))

В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x 2 =y, x 3 =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)

Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид

Обратное преобразование имеет вид, аналогичный

В системах отсчета K и K" матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут

lim p->0 a 00 =lim p->0 a 11 =1

lim p->0 a 01 =lim p->0 a 10 =0

Записав(14) для =0, 0

a 2 00 - a 2 10 =1 (28)

Для обратного преобразования

a" 2 00 - a" 2 10 =1

С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)

a 2 00 - a 2 01 =1 (30)

Из (28) и (30) следует

a 2 10 = a 2 01

и извлекая корень

Теперь(14) при =0, 1 получим

a 00 a 01 - a 10 a 11 =0,

откуда при

2. a 00 = -a 11 , если a 01 = a 10

a 00 = a 11

a 10 = - a 01

Учитывая, что справедливы соотношения

lim p ->0 a 00 =lim p ->0 a 11 =1

то справедлив первый вариант. Тогда следует считать

a 00 = a 11 =γ 0

a 01 = a 10 =γ 1

Тогда (26) перепишем в виде

Отсюда следует:

,

Поскольку

,

только один коэффициент является независимым.

Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)

a" 00 = a 00 =γ 0

a" 01 = -a 10 =γ 1

То есть координата x меняются; y,z – const

Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде

Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца

Интервал инвариантен при геометрических преобразованиях в 4-пространстве, т.е. подобен модулю вектора в евклидовом пространстве

x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z

Квадрат интервала

ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2

dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (инвариантв евклидовом пространстве) – модуль разности векторов точек.

x o ; x 1 ; x 2 ; x 3 –координаты –компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки.

пространство, где события изображаются мировой точкой с такими координатами, обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

Преобразование компонент 4-радиус-вектора осуществляется по формуле

где матрица преобразования

,

причем

Поскольку
, только один коэффициент является независимым.

Рассмотрим системы отсчета обеих К и К" систем отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью v.

Преобразование нулевого вектора

Для преобразованных величин получаем

для нулевой координаты x" =0, x=vt:

из
получаем, что

;
;
;

- коэффициент преобразования Лоренца

;

;

Подстановка в формулу преобразования координат 4-вектора дает

;
; где

Формулы обратного преобразования получаются аналогично с учетом, того что перед коэффициентом стоит знак плюс.

Переходя к обычным обозначениям для прямого преобразования

;

; y / = y; z / = z;

Обратные преобразования реальных координат

;
;

Преобразования Лоренца оставляют интервал инвариантным(проверить!!!) Сокращение размеров и вариация объема

;

Все эти преобразования осуществляются при изменении одной координаты х.

Преобразование скорости

дифференцируя формулу прямогопреобразования

;

- преобразование скоростей

;

Обратные преобразования получаются аналогично

Геометрический смысл преобразования Лоренца

Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чистомнимый угол
, для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла
, определяется значением отношения скоростей
. Введем теперьдействительную временную координату
, для которой
, или

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота

Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:

; i = 1,2,3 – для евклидового пространства

В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности

Четырехмерное обобщение имеет вид

где  = 0,1,2,3 – релятивистская динамика

Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.

В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt

Релятивистские dl и dt ≠ inv

inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом

ds 2 = c 2 dt 2 -dl 2

Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.

Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv

; -свойства 4-вектора для четырехмерной скорости частицы

Для ускорения имеем формулу

Нулевая компонента скорости

;

Остальные компоненты скорости

Векторная запись имеет вид

При скоростях много меньших скорости света получаем обычную скорость.

закон Ньютона для нулевой компоненты запишем

Для остальных компонент

, где i = 1,2,3 – сила Минковского

Сила Минковского связана с Ньютоновской силой соотношением

Иначе закон движения можно записать

Для квадрата 4-вектора справедливо соотношение

Для определения временной компоненты силы Минковского умножим уравнение движения на скорость.

Домножая уравнение движения на вектор скорости

Просуммируем

, то есть вектор скорости перпендикулярен направлению. Здесь учтено

,

Подставляем выражение для скорости и силы Минковского и, расписывая сумму, получим

Тогда вектор силы Минковского будет представлен компонентами

Скалярное произведение силы на скорость- есть работа совершенная частицей в единицу времени, равная изменению энергии частицы

Интегрируя данное уравнение, получим

, где const = 0;

Константу определил Эйнштейн и экспериментально подтвердил

Для снеподвижного тела справедливо выражение для энергии

E=mc 2 – уравнение Эйнштейна.

Это уравнение выражает энергию покоя частицы.

Покоящийся электрон и позитрон испускают два γ-кванта с суммарной энергией равной сумме энергий покоя электрона и позитрона.

Импульс и энергия частицы

Представление4- импульса:

;

Подставим выражение для скорости

;
;

Сопоставим выражения для энергии и для нулевой компоненты импульса и можем записать

;

Тогда компонентное предсталение 4-вектора импульса будет иметь вид

Если определить квадрат импульса, то

С другой стороны,

Здесь квадрат 4-импульса как и квадрат любого вектора является инвариантом

Разность между полной энергией и энергией покоя равна кинетической энергии частицы

при малых разложение в ряд Тейлора

Тогда приближенное выражение для кинетической энергии запишем

Что совпадает с классической теорией без релятивизма

Полная энергия выражается через импульс функцией Гамильтона

Гамильтониан для свободной частицы

H=√E 2 = E=c√(p 2 + m 2 c 2)

Для частицы во внешнем поле гамильтониан имеет вид

H=c√(p 2 + m 2 c 2) + U

где U – потенциальная энергия частицы в поле