сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;

Оборудование: Демонстрационный материал.

Задания для актуализации знаний:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть полученные дроби.

2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

1. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:

3) Карточка для этапа рефлексии.

1. Данная тема мне понятна.
2. Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
3. Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
4. В самостоятельной работе у меня всё получалось.
5. Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
6. Я доволен своей работой на уроке.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение к деятельности.

Цели этапа:

1. Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
2. Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цели этапа:

1. Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
2. Зафиксировать затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:

5) -=-==.

Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.

В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:

Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)

Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!

Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?

Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.

Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)

Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)

Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?

Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.

Слова учеников приблизительно такие:

Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”

Ответ на задания 4–5 не получены.

3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

1. Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
2. Сформулировать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)

Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Тема урока записывается в тетрадях.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

1. Построение детьми нового способа действий.
2. Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)

Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)

Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.

Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:

1. Раскладываем все знаменатели на множители.
2. Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
3. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
4. Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
5. Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.

Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

1. Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
2. Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)

Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.

Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.

Приблизительно это звучит так:

Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.

Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.

№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:

а) +=+==;

г) +=+==.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цели этапа:

1. Провести самостоятельную работу.
2. Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
3. Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.

№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.

После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.

Проводится анализ и исправление ошибок.

Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)

Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)

Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)

Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!

Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые).

И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.

7. Включение новых знаний в систему знаний.

Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

8. Рефлексия урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 8:

Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)

А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:

У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.

Молодцы!

Домашнее задание: параграф 4 (учебник); № 126, 127 (задачник).

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Пособие к учебнику Муравина Г.К.    Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.

Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь - это выражение вида: $\frac{P}{Q}$ .

Где:
P - числитель алгебраической дроби.
Q - знаменатель алгебраической дроби.

Приведем примеры алгебраических дробей:

$\frac{a}{b}$, $\frac{12}{q-p}$, $\frac{7y-4}{y}$.

Основные свойства алгебраических дробей

По другому это преобразование называется тождественным . Его используют, чтобы привести алгебраическое (и не только) выражение к более простому виду, и работа с этим выражением будет удобнее.

$\frac{a}{4b^2}=\frac{a*3b}{4b^2*3b}=\frac{3ab}{12b^3}$.

$\frac{a^2}{6b^3}=\frac{a^2*2}{6b^3*2}=\frac{2a^2}{12b^3}$.

Свойство 2.
И числитель, и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число (или одночлен, или многочлен). В итоге мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

Как и в случае с умножением, к такому тождественному преобразованию прибегают, чтобы представить дробь в более простом виде и облегчить работу с ней.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Общее правило:

$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{d}$.

Упростите выражение:

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}$.

Используем правило сложения дробей о котором рассказано выше, то есть сложим числители, а знаменатель запишем общий.

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}=\frac{(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)}{a^2-ab}$.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}$.

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}=\frac{2a(a+b)}{a(a-b)}=\frac{2(a+b)}{a-b}=\frac{2a+2b}{a-b}$.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Пример.
Вычислите:

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}$.

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}=\frac{3ab}{12b^3}+\frac{2a^2}{12b^3}=
\frac{3ab+2a^2}{12b^3}$.

Запомните!
Для двух алгебраических дробей общих знаменателей можно подобрать сколько угодно. Но для упрощения расчетов, нужно выбрать самый простой из возможных.

В этой статье мы детально разберем сложение и вычитание алгебраических дробей . Начнем со сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. После этого запишем соответствующее правило для дробей с разными знаменателями. В заключение покажем, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как выполнить их вычитание. Всю информацию по традиции снабдим характерными примерами с разъяснением каждого шага процесса решения.

Навигация по странице.

Когда знаменатели одинаковые

Принципы переносятся и на алгебраические дроби. Нам известно, что при сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются или вычитаются их числители, а знаменатель остается прежним. Например, и .

Аналогично формулируется и правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями : чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители дробей, а знаменатель оставить без изменения.

Из этого правила следует, что в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается новая алгебраическая дробь (в частном случае многочлен, одночлен или число).

Приведем пример применения озвученного правила.

Пример.

Найдите сумму алгебраических дробей и .

Решение.

Нам нужно сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями. Правило нам указывает, что надо выполнить сложение числителей этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Итак, складываем многочлены , находящиеся в числителях: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2·x·y−x·y)−5+3=x 2 +x·y−2 . Следовательно, сумма исходных дробей равна .

На практике обычно решение записывается кратко в виде цепочки равенств, отражающих все выполняемые действия. В нашем случае краткая запись решения такова:

Ответ:

.

Заметим, что если в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается сократимая дробь, то ее желательно сократить.

Пример.

Выполните вычитание из алгебраической дроби дроби .

Решение.

Так как знаменатели алгебраических дробей равны, то нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним: .

Несложно заметить, что можно выполнить сокращение алгебраической дроби . Для этого преобразуем ее знаменатель, применив формулу разности квадратов . Имеем .

Ответ:

.

Абсолютно аналогично складываются или вычитаются три и большее количество алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Например, .

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Напомним, как мы выполняем сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводим их к общему знаменателю, после чего складываем эти дроби с одинаковыми знаменателями. Например, или .

Существует аналогичное правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

• сначала все дроби приводятся к общему знаменателю;
• после чего выполняется сложение и вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Для успешного применения озвученного правила, нужно хорошо разобраться с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю. Этим и займемся.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю представляет собой тождественное преобразование исходных дробей, после которого знаменатели всех дробей становятся одинаковыми. Удобно использовать следующий алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю :

• сначала находится общий знаменатель алгебраических дробей;
• дальше определяются дополнительные множители для каждой из дробей, для чего общий знаменатель делится на знаменатели исходных дробей;
• наконец, числители и знаменатели исходных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример.

Приведите алгебраические дроби и к общему знаменателю.

Решение.

Сначала определим общий знаменатель алгебраических дробей . Для этого раскладываем знаменатели всех дробей на множители: 2·a 3 −4·a 2 =2·a 2 ·(a−2) , 3·a 2 −6·a=3·a·(a−2) и 4·a 5 −16·a 3 =4·a 3 ·(a−2)·(a+2) . Отсюда находим общий знаменатель 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Теперь приступаем к нахождению дополнительных множителей. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель первой дроби (удобно взять его разложение), имеем 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(2·a 2 ·(a−2))=6·a·(a+2) . Таким образом, дополнительный множитель для первой дроби равен 6·a·(a+2) . Аналогично находим дополнительные множители для второй и третьей дробей: 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a 2 ·(a+2) и 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(4·a 3 ·(a−2)·(a+2))=3 .

Осталось умножить числители и знаменатели исходных дробей на соответствующие дополнительные множители:

На этом приведение исходных алгебраических дробей к общему знаменателю завершено. При необходимости полученные дроби можно преобразовать к виду алгебраических дробей, выполнив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Итак, с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю разобрались. Теперь мы подготовлены к выполнению сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Да, чуть не забыли предупредить: общий знаменатель до самого последнего момента удобно оставлять представленным в виде произведения – возможно придется сокращать дробь, которая получится после сложения или вычитания.

Пример.

Выполните сложение алгебраических дробей и .

Решение.

Очевидно, исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому, чтобы выполнить их сложение, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Для этого раскладываем знаменатели на множители: x 2 +x=x·(x+1) , а x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , так как корнями квадратного трехчлена x 2 +3·x+2 являются числа −1 и −2 . Отсюда находим общий знаменатель, он имеет вид x·(x+1)·(x+2) . Тогда дополнительным множителем первой дроби будет x+2 , а второй дроби – x .

Итак, и .

Осталось сложить дроби, приведенные к общему знаменателю:

Полученную дробь можно сократить. Действительно, если в числителе вынести двойку за скобки, то станет виден общий множитель x+1 , на который дробь и сокращается: .

Наконец, полученную дробь представляем в виде алгебраической, для чего произведение в знаменателе заменяем многочленом: .

Оформим краткое решение, учитывающее все наши рассуждения:

Ответ:

.

И еще один момент: алгебраические дроби перед их сложением или вычитанием целесообразно предварительно преобразовать, чтобы упростить, (если, конечно, есть такая возможность).

Пример.

Выполните вычитание алгебраических дробей и .

Решение.

Выполним некоторые преобразования алгебраических дробей , возможно, они позволят упростить процесс решения. Для начала вынесем за скобки числовые коэффициенты у переменных в знаменателе: и . Уже интересно – стал виден общий множитель знаменателей дробей.

Тема урока: Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Цели урока:

Обучающие:

1. повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями
2. ввести правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями;
3. формировать умение выполнять действия сложения и вычитания с алгебраическими дробями.

Развивающие:

1. развить мышление, внимание, память, умение анализировать, сопоставлять, сравнивать;
2. расширение кругозора учащихся;

1. пополнение словарного запаса;

Воспитательные:

1. воспитывать познавательный интерес к предмету.
2. Воспитывать культуру умственного труда

Оборудование:

1. карточки – тестовые задания;
2. компьютер;
3. проектор;
4. экран;
5. презентация урока

Девиз:

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!

Слайд 2.

План урока.

1. Сообщение цели и темы урока (2 мин);
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4 мин);
3. Устная работа (5 мин);
4. Изучение нового материала (8 мин);
5. Физкультминутка (2 мин);
6. Закрепление нового материала (10 мин);
7. Тест с выбором ответа (10 мин);
8. Итог урока, выводы (2 мин);
9. Домашнее задание. (2 мин).

Слайд 3.

Ход урока.

I. Организационный момент:

1) сообщение темы урока;

2) сообщение целей и задач урока.

II. Актуализация знаний:

Какая дробь называется алгебраической? Привести примеры.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Слайд 4.

III. Устная работа:

1. Прочитайте дроби:
2. Найти выражение, которое является лишним а) (а+в) 2 ; б) ; в) ; г) .
3. Восстановить частично стёртые записи: на приведение к общему знаменателю

Слайд 5.

1. Найди ошибку

Слайд 6.

1. К каждой дроби найти равную ей дробь, используя соответствие число – буква:

1) ; 2) 3) .

А) б) ; в) .

Слайд 7,8

IV. Изучение нового материала.
1) Повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Затем устно решить следующие примеры:

2) Вспомнить правила сложения и вычитания многочленов и письменно на доске выполнить следующие упражнения:

3) Учащиеся должны предложить правила выполнения следующих примеров, записанных на доске:

Решение примеров обсуждается. Если учащиеся самостоятельно справиться не могут, то учитель объясняет.

Слайд 9.

Правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями записываются в тетрадь.
, .

Слайд 10.

V. Физкультминутка для глаз

Упражнение 1. Сделайте 15 колебательных движений глазами по горизонтали справа – налево, затем слева – направо.

Упражнение 2. Сделайте 15 колебательных движений глазами по вертикали вверх - вниз и вниз - вверх.

Упражнение 3. Тоже 15, но круговых вращательных движений глазами слева – направо.

Упражнение 4. То же самое, но справа – налево.

Упражнение 5. Сделайте по 15 круговых вращательных движений глазами вначале в правую, затем в левую стороны, как бы вычерчивая глазами уложенную набок восьмёрку.

VI. Закрепление нового материала.
1) Фронтальная работа.

1) Решить задания

№ 462 (1,3)

2) Сложить дроби:

3) Вычесть дроби:

4) Выполнить действия.

Слайд 11.

2) Индивидуальная работа.
Четыре ученика выполняют на доске самостоятельную работу, предложенную на карточках.

Карточка 1.

Карточка 2.

Карточка 3.

Карточка 4.

Остальные в тетрадях: Выполнить сложение и вычитание дробей:
а) б)
в)

VII. Выполнение работы в группах и анализ результатов.

Каждой группе выдаются тестовые задания, выполнив которое получают слово – фамилию известного математика.

Таблица ответов:

Проверьте качество выполнения задания.

Получилось ли у вас из полученных букв имя известного математика?

Если вы правильно ответили на все вопросы, то получили оценку “ОТЛИЧНО”!!!

Если Вы допустили ошибку в одном шаге – неплохо, но ученый, наверно, обиделся бы. Вы получили оценку “ХОРОШО”!

Если Вы ошиблись в двух шагах, то вы плохо слушали учителя на уроке и Вам придется прочитать тему в учебнике алгебры. Вы получили оценку “УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Если Вы ошиблись более, чем в двух шагах, то вы совсем не слушали учителя на уроке и Вам придется очень внимательно прочитать учебник алгебры. Вы получили оценку “НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Слайд 13-17.

При наличии времени решаются задания:
1. Докажите, что выражение
при всех значениях а2 принимает положительные значения.
2. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь:
а) ; б) в)

3. Зная, что, найдите значение дроби:
а) ; б) в)

VIII. Подведение итогов.

I Х. Домашнее задание: Прочитать материал учебника п.26, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 462(2,4); составить 5 примеров на сложение и вычитание алгебраических дробей; найти информацию о математиках, имена которых мы сегодня услышали.

Обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а », значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные .

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с », значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d) » числитель второй дроби «(a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю .

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a » и «3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15 » и «3 » — это «15 ».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a » и «5 » есть только
   один одночлен — «а ».
3. Перемножим НОК из п.1 «15 » и одночлен «а » из п.2. У нас получится «15a ». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a »?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3 », чтобы получить «15a »?» Ответ — на «5a ».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a » и числитель, и знаменатель .

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим знаменатели «(x − y) » и «(x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y) » и «(x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения .

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов .

После разложения многочлена «(p 2 − 36) » на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6) ».