Максимальная спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Энергетическая светимость. Испускательная и поглощательначя способности. Абсолютно черное тело
Примеры решения задач. Пример 1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца приходится на длину волны =0,48 мкм
Пример 1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца приходится на длину волны =0,48 мкм. Считая, что Солнце излучает как черное тело, определить: 1) температуру его поверхности; 2) мощность, излучаемую его поверхностью.
Согласно закону смещения Вина, искомая температура поверхности Солнца:
где b= - постоянная Вина.
Мощность, излучаемая поверхностью Солнца:
где - энергетическая светимость черного тела (Солнца), - площадь поверхности Солнца, - радиус Солнца.
Согласно закону Стефана - Больцмана:
где = Вт/ - постоянная Стефана - Больцмана.
Подставим записанные выражения в формулу (2), найдем искомую мощность, излучаемую поверхностью Солнца:
Вычисляя, получим: Т=6,04 кК; Р= Вт.
Пример 2. Определить длину волны , массу и импульс фотона с энергией = 1 МэВ.
Энергия фотона связана с дли- ной волны света соотношением: ,
где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме. Отсюда .
Подставив численные значения, получим: м.
Массу фотона определим, используя формулу Эйнштейна . Масса фотона = кг.
Импульс фотона = кг м/с.
Пример 3. Натриевый катод вакуумного фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной волны =40 нм. Определить задерживающее напряжение, при котором фототок прекращается. "Красная граница" фотоэффекта для натрия =584 нм.
Электрическое поле, препят- ствующее движению электронов от катода к аноду, называют обратным. Напряжение, при котором фототок полностью прекращается, называется задерживающим напряжением. При таком задерживающем напряжении ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью , не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. При этом начальная кинетическая энергия фотоэлектронов () переходит в потенциальную ( , где е= Кл – элементарный заряд, а - наименьшее задерживающее напряжение). По закону сохранения энергии
Кинетическую энергию электронов найдем, используя уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
Отсюда (3)
Работа выхода электронов А в определяется красной границей фотоэффекта:
Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим:
Тогда, из уравнения (1) .
Вычисляя, получим В.
Пример 4. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля для протона.
Длина волны де Бройля определяется по формуле: , (1)
где h – постоянная Планка, - импульс частицы.
По условию задачи кинетическая энергия протона сравнима по величине с его энергией покоя Е 0 . Следовательно, импульс и кинетическая энергия связаны между собой релятивистским соотношением:
где с – скорость света в вакууме.
Используя условие задачи, получим: . Подставив полученное выражение в формулу (1), найдем длину волны де Бройля:
Энергию покоя электрона найдем по формуле Эйнштейна , где m 0 - масса покоя электрона, с - скорость света в вакууме.
Подставив числовые значения, получим: м.
Пример 5. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U=0,5 кВ. Принимая, что неопределенность импульса электрона равна 0,1 % от его числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Является ли в данных условиях электрон квантовой или классической частицей?
В направлении движения пучка электронов (ось X) соотношение неопределенностей имеет вид:
где - неопределенность координаты электрона; - неопределенность его импульса; - постоянная Планка.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов, электрон приобретает кинетическую энергию , равную работе сил электрического поля:
Расчет дает значение Е к =500 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (Е 0 = 0,51 Мэв). Следовательно, в данных условиях электрон является нерелятивистской частицей, имеющей импульс, связанный с кинетической энергией формулой .
Согласно условию задачи, неопределенность импульса =0,001 = , т.е. << .
Это значит, что волновые свойства в данных условиях несущественны и электрон может рассматриваться как классическая частица. Из выражения (1) следует, что искомая неопределенность координаты электрона
Вычислив, получим 8,51 нм.
Пример 6. В результате перехода из одного стационарного состояния в другое атомом водорода был испущен квант с частотой . Найти, как изменились радиус орбиты и скорость движения электрона, используя теорию Бора.
Излучение с частотой соответствует длине волны = =102,6 нм (с – скорость света в вакууме), лежащей в ультрафиолетовой области. Следовательно, спектральная линия принадлежит серии Лаймана, возникающей при переходе электрона на первый энергетический уровень (n=1).
Используем обобщенную формулу Бальмера, чтобы определить номер энергетического уровня (k), с которого был совершен переход: .
Выразим из этой формулы k:
Подставляя имеющиеся данные, получим k=3. Следовательно, излучение произошло в результате перехода электрона с третьей орбиты на первую.
Значения радиусов орбит и скоростей движения электронов на этих орбитах найдем из следующих соображений.
На электрон, находящийся на стационарной орбите в атоме водорода, со стороны ядра действует сила Кулона
которая сообщает ему нормальное ускорение . Следовательно, согласно основному закону динамики:
Кроме того, согласно постулату Бора, момент импульса электрона на стационарной орбите должен быть кратен постоянной Планка, т.е.
где n = 1, 2, 3 …. – номер стационарной орбиты.
Из уравнения (2) скорость . Подставив это выражение в уравнение (1), получим
Отсюда радиус стационарной орбиты электрона в атоме водорода: .
Тогда скорость электрона на этой орбите:
Принимая, что до излучения кванта электрон имел характеристики r 3 , v 3 , а после излучения r 1 , v 1 несложно получить:
то есть, радиус орбиты уменьшился в 9 раз, скорость электрона увеличилась в 3 раза.
Пример 7. Электрон в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной =200 пм с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить: 1) вероятность W обнаружения электрона в средней трети "ямы"; 2) точки указанного интервала, в которых плотность вероятности обнаружения электрона максимальна и минимальна.
1. Вероятность обнаружить частицу в интервале Возбужденному состоянию (n=2) отвечает собственная волновая функция: Подставим (2) в (1) и учтем, что и : Выразив через косинус двойного угла с использованием тригонометрического равенства , получим выражение для искомой вероятности: = = = = = 0,195. 2. Плотность вероятности существования частицы в некоторой области пространства определяется квадратом модуля ее волновой функции . Используя выражение (2), получим: Зависимость квадрата модуля волновой функции частицы от ее координаты, определяемая выражением (3), приведена на рисунке. Очевидно, что минимальная плотность вероятности w=0 соответствует значениям x, при которых . То есть, , где k = 0, 1, 2… Максимального значения в пределах ямы плотность вероятности w достигает при условии: . Соответствующие значения . Как видно из графика зависимости w= w(x), приведенного на рисунке, в интервал Как видим, плотность вероятности обнаружить электрон на границах заданного интервала - одинакова. Следовательно, , . Пример 8.
Определить количество теплоты, необходимое для нагревания кристалла NaCl массой m=20г на от температуры Т 1 = 2К. Характеристическую температуру Дебая для NaCl принять равной 320К.. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m от температуры Т 1 до температуры Т 2 можно вычислить по формуле: где С – молярная теплоемкость вещества, М – молярная масса. Согласно теории Дебая, при температуре молярная теплоемкость кристаллических твердых тел определяется выражением: Подставив выражение (2) в (1), и проинтегрировав, получим: Подставив численные значения и произведя вычисления, найдем Q= 1,22 мДж. Пример 9.
Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра . Дефект массы ядра определим по формуле: Для ядра : Z=5; А=11. Вычисление дефекта массы выполним во внесистемных единицах – атомных еди- ницах массы (а.е.м.). Необходимые данные возьмем из таблицы (приложение 3): 1,00783 а.е.м., =1,00867 а.е.м., = 11,00931 а.е.м. В результате расчета по формуле (1) получим: =0,08186 а.е.м. Энергию связи ядра найдем также во внесистемных единицах (МэВ), воспользовавшись формулой: Коэффициент пропорциональности = 931,4 МэВ/а.е.м., т.е. После подстановки численных значений получим: Удельная энергия связи, по определению, равна: Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.
Тепловым
излучением тел называется электромагнитное
излучение, возникающее за счет той части
внутренней энергии тела,
которая
связана с тепловым движением его частиц.
Основными
характеристиками теплового излучения
тел нагретых до температуры T
являются: 1.
Энергетическая
светимость
R
(T
)
-количество энергии, излучаемой в
единицу времени с единицы поверхности
тела, во всем интервале длин волн.
Зависит
от температуры, природы и состояния
поверхности излучающего тела. В
системе СИR
(
T
)
имеет размерность [Вт/м 2 ]. 2.
Спектральная плотность энергетической
светимости
r
(
,Т)
=dW
/
d
-
количество энергии, излучаемое
единицей поверхности тела, в единицу
времени в единичном интервале длин волн
(вблизи рассматриваемой длины волны
).
Т.е. эта
величина численно равна отношению
энергииdW
, испускаемой с единицы
площади в единицу времени в узком
интервале длин волн от
до
+d
,
к ширине этого интервала. Она зависит
от температуры тела, длины волны, а также
от природы и состояния поверхности
излучающего тела. В системе СИr
(
,
T
)
имеет
размерность [Вт/м 3 ]. Энергетическая
светимостьR
(T
)
связана со спектральной плотностью
энергетической светимостиr
(
,
T
)
следующим
образом: (1)
[Вт/м 2 ] 3.
Все тела не только излучают, но и
поглощают падающие на их поверхность
электромагнитные волны. Для
определения поглощательной способности
тел по отношению к электромагнитным
волнам определенной длины волны вводится
понятиекоэффициента монохроматического
поглощения
-отношение величины
поглощенной поверхностью тела энергии
монохроматической волны к величине
энергии падающей монохроматической
волны:
Коэффициент
монохроматического поглощения является
безразмерной величиной, зависящей от
температуры и длины волны. Он
показывает, какая доля энергии падающей
монохроматической волны поглощается
поверхностью тела. Величина (
,
T
)
может принимать значения от 0 до 1. Излучение
в адиабатически замкнутой системе (не
обменивающейся теплотой с внешней
средой) называется равновесным
. Если
создать маленькое отверстие в
стенке полости состояние равновесия
измениться слабо и выходящее из полости
излучение будет соответствовать
равновесному излучению. Если
в такое отверстие направить луч,
то после многократных отражений и
поглощения на стенках полости он
не сможет выйти обратно наружу. Это
значит, что для такого отверстия
коэффициент поглощения(
,
T
)
= 1. Рассмотренная
замкнутая полость с небольшим отверстием
служит одной из моделей абсолютно
черного тела.
Абсолютно
черным телом
называется тело, которое
поглощает все падающее на него излучение
независимо от направления падающего
излучения, его спектрального состава
и поляризации (ничего не отражая и не
пропуская).
Для
абсолютно черного тела, спектральная
плотность энергетической светимости
является некоторой универсальной
функцией длины волны и температурыf
(
,
T
)
и не зависит от его природы. Все
тела в природе частично отражают падающее
на их поверхность излучение и
поэтому не относятся к абсолютно черным
телам.Если коэффициент монохроматического
поглощения тела одинаков для
всех длин волн и меньше
единицы
((
,
T
) = Т =const<1),то такое тело
называется
серым
. Коэффициент
монохроматического поглощения серого
тела зависит только от температуры
тела, его природы и состояния его
поверхности. Кирхгофом
было показано, что для всех тел, независимо
от их природы, отношение спектральной
плотности энергетической светимости
к коэффициенту монохроматического
поглощения является той же универсальной
функцией длины волны и температурыf
(
,
T
)
,
что и спектральная плотность
энергетической светимости абсолютно
черного тела:
Уравнение
(3) представляет собой закон Кирхгофа. Закон
Кирхгофа
можно сформулировать
таким образом:для всех тел системы,
находящихся в термодинамическом
равновесии, отношение спектральной
плотности энергетической светимости
к коэффициенту
монохроматического
поглощения не зависит от природы тела,
является одинаковой для всех тел
функцией, зависящей от длины волны
и
температуры Т.
Из
вышесказанного и формулы (3) ясно, что
при данной температуре сильнее излучают
те серые тела, которые обладают
большим коэффициентом поглощения, а
наиболее сильно излучают абсолютно
черные тела. Так как для абсолютно
черного тела(
,
T
)=1, то из формулы
(3) следует, что универсальная функцияf
(
,
T
) представляет
собой спектральную плотность энергетической
светимости абсолютно черного тела Говорят также, что энергетическая светимость - это поверхностная плотность испускаемого потока излучения. Численно энергетическая светимость равна среднему по времени модулю составляющей вектора Пойнтинга , перпендикулярной поверхности. Усреднение при этом проводится за время, существенно превосходящее период электромагнитных колебаний. Испускаемое излучение может возникать в самой поверхности, тогда говорят о самосветящейся поверхности. Другой вариант наблюдается при освещении поверхности извне. В таких случаях некоторая часть падающего потока в результате рассеяния и отражения обязательно возвращается обратно. Тогда выражение для энергетической светимости имеет вид: где
ρ
{\displaystyle \rho }
и
σ
{\displaystyle \sigma }
- коэффициент отражения и коэффициент рассеяния поверхности соответственно, а - её облучённость . Другие, иногда используемые в литературе, но не предусмотренные ГОСТОм наименования энергетической светимости: - излучательность
и интегральная испускательная способность
.
Спектральная плотность энергетической светимости
M
e
,
λ
(λ)
{\displaystyle M_{e,\lambda }(\lambda)}
- отношение величины энергетической светимости
d
M
e
(λ)
,
{\displaystyle dM_{e}(\lambda),}
приходящейся на малый спектральный интервал
d
λ
,
{\displaystyle d\lambda ,}
, заключённый между
λ
{\displaystyle \lambda }
и
λ
+
d
λ
{\displaystyle \lambda +d\lambda }
, к ширине этого интервала: Единицей измерения в системе СИ является Вт·м −3 . Поскольку длины волн оптического излучения принято измерять в нанометрах , то на практике часто используется Вт·м −2 ·нм −1 . Иногда в литературе
M
e
,
λ
{\displaystyle M_{e,\lambda }}
именуют спектральной испускательной способностью
. где
K
m
{\displaystyle K_{m}}
- максимальная световая эффективность излучения , равная в системе СИ 683 лм /Вт . Её численное значение следует непосредственно из определения канделы . Сведения о других основных энергетических фотометрических величинах и их световых аналогах приведены в таблице. Обозначения величин даны по ГОСТ 26148-84 . Энергия, которую теряет тело вследствие теплового излучения, характеризуется следующими величинами. Поток излучения (Ф) -
энергия, излучаемая за единицу времени со всей поверхности тела. Фактически, это мощность теплового излучения. Размерность потока излучения - [Дж/с = Вт]. Энергетическая светимость (Re) -
энергия теплового излучения, испускаемого за единицу времени с единичной поверхности нагретого тела: В системе СИ энергетическая светимость измеряется - [Вт/м 2 ]. Поток излучения, и энергетическая светимость зависят от строения вещества и его температуры: Ф = Ф(Т), Распределение энергетической светимости по спектру теплового излучения характеризует ее спектральная плотность.
Обозначим энергию теплового излучения, испускаемого единичной поверхностью за 1 с в узком интервале длин волн от λ
до λ
+ dλ,
через dRe. Спектральной плотностью энергетической светимости(r) или испускательной способностью
называется отношение энергетической светимости в узком участке спектра (dRe) к ширине этого участка (dλ): Примерный вид спектральной плотности и энергетичекая светимость (dRe) в интервале волн от λ
до λ
+ dλ,
показаны на рис. 13.1. Рис. 13.1.
Спектральная плотность энергетической светимости Зависимость спектральной плотности энергетической светимости от длины волны называют спектром излучения тела
.
Знание этой зависимости позволяет рассчитать энергетическую светимость тела в любом диапазоне длин волн. Формула для расчета энергетической светимости тела в диапазоне длин волн имеет вид: Полная светимость равна: Тела не только испускают, но и поглощают тепловое излучение. Способность тела к поглощению энергии излучения зависит от его вещества, температуры и длины волны излучения. Поглощательную способность тела характеризует монохроматический коэффициент поглощенияα
. Пусть на поверхность тела падает поток монохроматического
излучения Φ λ с длиной волны λ. Часть этого потока отражается, а часть поглощается телом. Обозначим величину поглощенного потока Φ λ погл. Монохроматическим коэффициентом поглощения α λ
называется отношение потока излучения, поглощенного данным телом, к величине падающего монохроматического потока: Монохроматический коэффициент поглощения - величина безразмерная. Его значения лежат между нулем и единицей: 0 ≤ α ≤ 1. Функция α = α(λ,Τ)
, выражающая зависимость монохроматического коэффициента поглощения от длины волны и температуры, называется поглощательной способностью
тела. Ее вид может быть весьма сложным. Ниже рассмотрены простейшие типы поглощения. Абсолютно черное тело
- это тело, коэффициент поглощения которого равен единице для всех длин волн: α = 1. Серое тело
- это тело, для которого коэффициент поглощения не зависит от длины волны: α = const < 1. Абсолютно белое тело
- это тело, коэффициент поглощения которого равен нулю для всех длин волн: α = 0. Закон Кирхгофа
Закон Кирхгофа
- отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел и равно спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела: =
/
Следствие из закона: 1. Если тело при данной температуре не поглощает какое-либо излучение, то оно его и не испускает. Действительно, если для некоторой длины волны коэффициент поглощения α = 0, то и r = α∙ε(λT) = 0 1. При одной и той же температуречерное тело
излучает больше чем любое другое. Действительно, для всех тел, кроме черного,
α < 1, поэтому для них r = α∙ε(λT) < ε 2. Если для некоторого тела экспериментально определить зависимость монохроматического коэффициент поглощения от длины волны и температуры - α = r = α(λT), то можно рассчитать спектр его излучения.Спектральная плотность энергетической светимости
Световой аналог
M
v
=
K
m
⋅
∫
380
n
m
780
n
m
M
e
,
λ
(λ)
V
(λ)
d
λ
,
{\displaystyle M_{v}=K_{m}\cdot \int \limits _{380~nm}^{780~nm}M_{e,\lambda }(\lambda)V(\lambda)d\lambda ,}
Наименование (синоним )
Обозначение величины
Определение
Обозначение единиц СИ
Световая величина
Энергия излучения (лучистая энергия)
Q
e
{\displaystyle Q_{e}}
или
W
{\displaystyle W}
Энергия, переносимая излучением
Дж
Световая энергия
Поток излучения (лучистый поток)
Φ
{\displaystyle \Phi }
e или
P
{\displaystyle P}
Φ
e
=
d
Q
e
d
t
{\displaystyle \Phi _{e}={\frac {dQ_{e}}{dt}}}
Вт
Световой поток
Сила излучения (энергетическая сила света)
I
e
{\displaystyle I_{e}}
I
e
=
d
Φ
e
d
Ω
{\displaystyle I_{e}={\frac {d\Phi _{e}}{d\Omega }}}
Вт·ср −1
Сила света
Объёмная плотность энергии излучения
U
e
{\displaystyle U_{e}}
U
e
=
d
Q
e
d
V
{\displaystyle U_{e}={\frac {dQ_{e}}{dV}}}
Дж·м −3
Объёмная плотность световой энергии
Энергетическая яркость
L
e
{\displaystyle L_{e}}
L
e
=
d
2
Φ
e
d
Ω
d
S
1
cos
ε
{\displaystyle L_{e}={\frac {d^{2}\Phi _{e}}{d\Omega \,dS_{1}\,\cos \varepsilon }}}
Вт·м −2 ·ср −1
Яркость
Интегральная энергетическая яркость
Λ
e
{\displaystyle \Lambda _{e}}
Λ
e
=
∫
0
t
L
e
(t
′)
d
t
′
{\displaystyle \Lambda _{e}=\int _{0}^{t}L_{e}(t")dt"}
Дж·м −2 ·ср −1
Интегральная яркость
Облучённость (энергетическая освещённость)
E
e
{\displaystyle E_{e}}
E
e
=
d
Φ
e
d
S
2
{\displaystyle E_{e}={\frac {d\Phi _{e}}{dS_{2}}}}
Вт·м −2