Задача 1. Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ = 5, AD = 11. Найти тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми АС и B 1 D 1 равно 12. Решение. Введем систему координат. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Координаты нормали к плоскости сечения: Координаты нормали к плоскости основания: – острый угол, то D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z N Угол между плоскостями Ответ: 0,5. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 2. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Угол А – прямой. АС = 8, ВС = 219. Высота пирамиды SA равна 6. На ребре АС взята точка М так, что АМ = 2. Через точку М, вершину В и точку N – середину ребра SC – проведена плоскость α. Найти двугранный угол, образованный плоскостью α и плоскостью основания пирамиды. A S x B C M N y z Решение. Введем систему координат. Тогда А (0;0;0), С (0;8;0), М (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Нормаль к плоскости (АВС) вектор Нормаль к плоскости (ВМN) Угол между плоскостями Ответ: 60°. Уравнение плоскости (ВМN): Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание четырехугольной пирамиды PABCD квадрат со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите угол между плоскостями (BDP) и (BCP). Решение. 1. Проведём медиану DF равнобедренного треугольника CDP (ВС = PD = 6) Значит DF PC. И из того, что BC (CDP), следует что DF BC, значит DF (PCB) A D C B P F 2. Так как AC DB и AC DP, то AC (BDP) 3. Таким образом, угол между плоскостями (BDP) и (BCP) находится из условия: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание четырехугольной пирамиды PABCD квадрат со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите угол между плоскостями (BDP) и (BCP). Решение.4. Выберем систему координат. Координаты точек: 5. Тогда вектора будут иметь следующие координаты: 6. Вычисляя значения, находим:, значит A D C B P F z x y Угол между плоскостями Ответ: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 4. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями (AD 1 E) и (D 1 FC), где точки E и F - середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение:1.Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек: 2. Составим уравнение плоскости (AD 1 E): 3. Составим уравнение плоскости (D 1 FC): - нормальный вектор плоскости (AD 1 Е). - нормальный вектор плоскости (D 1 FС). Угол между плоскостями х у z Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 4. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями (AD 1 E) и (D 1 FC), где точки E и F - середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение: 4. Найдем косинус угла между плоскостями по формуле Ответ: Угол между плоскостями х у z Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z 1.Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек А, В, С: К Пусть сторона основания равна 1. Для определенности рассмотрим грани SAC и SBC 2. Найдем координаты точки S: Е Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е SO найдем из OSB: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е 3. Уравнение плоскости (SAC): - нормальный вектор плоскости (SAC). 4. Уравнение плоскости (SBC): - нормальный вектор плоскости (SВC). Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е 5. Найдем косинус угла между плоскостями по формуле Ответ: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

В задании С2 по математике чаще всего надо решить задачу, в которой надо определить:

1. Расстояние между двумя точками
2. Расстояние от точки до прямой
3. Расстояние от точки до плоскости
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
5. Угол между двумя прямыми
6. Угол между прямой и плоскостью
7. Угол между плоскостями

Теперь перейдем непосредственно к алгоритмам.

1. Для определения расстояния между двумя точками А и В используем один из двух способов:

• Включаем АВ в некоторый треугольник и находим его длину как сторону треугольника
• По формуле

При чем координатный метод на мой взгляд наиболее прост, надо только аккуратно определить координаты каждой точки.

2. Для определения расстояния от точки до прямой вычисляется

• как длина отрезка перпендикуляра, если удастся включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот

3. Расстояние от точки до плоскости равно

• длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Для этого аккуратно строим сечение, которое перпендикулярно плоскости и проходит через заданную точку. Искомое расстояние будет равно высоте полученного нового многогранника.
• С использованием координатного метода

Уравнение находится путем подстановки координат трех точек, принадлежащих этой плоскости

• С использованием векторного метода

• Методом объемов, если имеется пирамида АВСМ, то расстояние от точки М до плоскости, содержащей треугольник АВС вычисляется по формуле

• Методом опорных задач, которые можно посмотреть

4.1. Поэтапно-вычислительного метода:

• построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и найти его длину;
• построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от точки до прямой, построенной в плоскости;
• заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, найти расстояние между этими плоскостями
• построить плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых и построить ортогональную проекцию второй прямой

4.2. Векторно-координатного метода

• Находим координаты концов отрезка, являющегося общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых
• Находим расстояние между двумя точками

6. Угол между прямой и плоскостью определяется путем включения его в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов, либо векторно-координаторным методом

Как определяется угол между плоскостями рассмотрим в следующем уроке. Данные алгоритмы решения С2 способствуют комплексному пониманию метода решения поставленной задачи. " В помощь школьнику журнал для школьников и их родителей". Read more: http://education-club.ru/#ixzz2IXf5GOJU

7. Угол между плоскостями (геометрический метод)

• 1. Найти прямую, по которой пересекаются плоскости.
• 2. Выбрать на этой прямой точку и провести к ней два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях. Или провести плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей.
• 3. Найти тригонометрическую функцию угла, образованного перпендикулярами к линии пересечения плоскостей. Как правило, мы делаем это через треугольник, в который входит искомый угол.
• 4. В ответе записать значение угла, или тригонометрической функции угла.

Угол между плоскостями. Метод координат. Задание С2

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов:

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшегодвугранного угла.

Пусть наши плоскости и заданы уравнениями:

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что . На ребре взята точка K так, что . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

Сделаем чертеж. Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему координат:

Теперь перед нами стоит задача написать уравнения плоскости и плоскости .

Подробный алгоритм нахождения уравнения плоскости по трем точкам я описывала .

После того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости и плоскости , подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол.

Предлагаю вам посмотреть подробное видеорешение этой задачи:

Еще одна задача от Инны Владимировны Фельдман

Видео уроки "Координатный метод решения задач с-2"

Урок 2 http://youtu.be/dKQWG8OZRGo
урок 3 http://youtu.be/ddgr0PnbFno
урок 4 http://youtu.be/n6yx2pQC0Lo
урок 5 http://youtu.be/JkWbxAw1YLI
урок 6 http://youtu.be/gybIqCMKBiI
урок 7 http://youtu.be/_LpARpYxp5g
урок 8 http://youtu.be/XJhyZQoofD8

Использование метода координат при вычислении угла

между плоскостями

Наиболее общий метод нахождения угла между плоскостями - метод координат (иногда - с привлечением векторов). Его можно использовать тогда, когда испробованы все остальные. Но бывают ситуации, в которых метод координат имеет смысл применять сразу же, а именно тогда, когда система координат естественно связана с многогранником, указанным в условии задачи, т.е. явно просматриваются три попарно перпендикулярные прямые, на которых можно задать оси координат. Такими многогранниками являются прямоугольный параллелепипед и правильная четырехугольная пирамида. В первом случае система координат может быть задана выходящими из одной вершины ребрами (рис.1), во втором - высотой и диагоналями основания (рис. 2)

Применение метода координат состоит в следующем.

Вводится прямоугольная система координат в пространстве. Желательно ввести ее «естественным» образом - «привязать» к тройке попарно перпендикулярных прямых, имеющих общую точку.

Для каждой из плоскостей, угол между которыми ищется, составляется уравнение. Проще всего составить такое уравнение, зная координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой.

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах + By + Cz + D = 0.

Коэффициенты А, В, С в этом уравнении являются координатами нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). Определяем затем длины и скалярное произведение нормальных векторов к плоскостям, угол между которыми ищется. Если координаты этих векторов (А 1 , В 1 ; С 1 ) и (А 2 ; В 2 ; С 2 ), то искомый угол вычисляется по формуле

Замечание. Необходимо помнить, что угол между векторами (в отличие от угла между плоскостями) может быть тупым, и чтобы избежать возможной неопределенности, в числителе правой части формулы стоит модуль.

Решите методом координат такую задачу.

Задача 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка К - середина ребра AD, точка L - середина ребра CD. Чему равен угол между плоскостями А 1 KL и A 1 AD?

Решение . Пусть начало системы координат находится в точке А, а оси координат идут вдоль лучей AD, АВ, АА 1 (рис. 3). Ребро куба примем равным 2 (удобно делить пополам). Тогда координаты точек A 1 , К, L таковы: А 1 (0; 0; 2), К(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Рис. 3

Запишем уравнение плоскости А 1 К L в общем виде. Затем подставим в него координаты выбранных точек этой плоскости. Получим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Выразим коэффициенты А, В, С через D и придем к уравнению

Разделив обе его части на D (почему D = 0?) и домножив затем на -2, получим уравнение плоскости A 1 KL: 2х - 2 у + z - 2 = 0. Тогда нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (2: -2; 1) . Уравнение плоскости A 1 AD таково: y=0, а координаты нормального вектора к ней, например, (0; 2: 0) . Согласно приведенной выше формуле для косинуса угла между плоскостями получаем:

Эта статья посвящена углу между плоскостями и его нахождению. Сначала приведено определение угла между двумя плоскостями и дана графическая иллюстрация. После этого разобран принцип нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями методом координат, получена формула, позволяющая вычислять угол между пересекающимися плоскостями по известным координатам нормальных векторов этих плоскостей. В заключении показаны подробные решения характерных задач.

Навигация по странице.

Угол между плоскостями - определение.

Приведем рассуждения, которые позволят постепенно подойти к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть нам даны две пересекающиеся плоскости и . Эти плоскости пересекаются по прямой, которую обозначим буквой c . Построим плоскость , проходящую через точку М прямой c и перпендикулярную к прямой c . При этом плоскость будет пересекать плоскости и . Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и как a , а прямую, по которой пересекаются плоскости и как b . Очевидно, прямые a и b пересекаются в точке М .

Легко показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b не зависит от расположения точки М на прямой c , через которую проходит плоскость .

Построим плоскость , перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости . Плоскость пересекают плоскости и по прямым, которые обозначим a 1 и b 1 соответственно.

Из способа построения плоскостей и следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c , и прямые a 1 и b 1 перпендикулярны прямой c . Так как прямые a и a 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , то они параллельны. Аналогично, прямые b и b 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости на плоскость , при котором прямая a 1 совпадет с прямой a , а прямая b с прямой b 1 . Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Этим доказано, что угол между пересекающимися прямыми a и b , лежащими в пересекающихся плоскостях и , не зависит от выбора точки M , через которую проходит плоскость . Поэтому, логично этот угол принять за угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями и .

Определение.

Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями и – это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b , по которым плоскости и пересекаются с плоскостью , перпендикулярной к прямой c .

Определение угла между двумя плоскостями можно дать немного иначе. Если на прямой с , по которой пересекаются плоскости и , отметить точку М и через нее провести прямые а и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях и соответственно, то угол между прямыми а и b представляет собой угол между плоскостями и . Обычно на практике выполняют именно такие построения, чтобы получить угол между плоскостями.

Так как угол между пересекающимися прямыми не превосходит , то из озвученного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися плоскостями выражается действительным числом из интервала . При этом, пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными , если угол между ними равен девяноста градусам. Угол между параллельными плоскостями либо не определяют совсем, либо считают его равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла. В курсе геометрии средней школы встречаются подобные задачи.

Для примера приведем решение задачи С2 из ЕГЭ по математике за 2012 год (условие намерено изменено, но это не влияет на принцип решения). В ней как раз нужно было найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Пример.

Решение.

Для начала сделаем чертеж.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 . Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D 1 E лежат в одной плоскости АDD 1 , причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС , а прямая D 1 E – в плоскости BED 1 , следовательно, точка пересечения прямых DA и D 1 E будет общей точкой плоскостей АВС и BED 1 . Итак, продолжим прямые DA и D 1 E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F . Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 .

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED 1 соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF , - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостями АВС и BED 1 . Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС . Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М . Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС , и по теореме о трех перпендикулярах .

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен .

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ , если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ : так как точка Е делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А , а длина стороны АА 1 равна 7 , то АЕ=4 . Найдем еще длину АМ .

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А , где АМ является высотой. По условию АВ=2 . Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD 1 F и AEF :

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим . Длину АМ найдем через площадь треугольника АBF : c одной стороны площадь треугольника АВF равна , с другой стороны , откуда .

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем .

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен (заметим, что ).

Ответ:

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями и . Обозначим искомый угол как .

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей и или имеется возможность их найти. Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями и через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и , как c . Через точку М на прямой c проведем плоскость , перпендикулярную к прямой c . Плоскость пересекает плоскости и по прямым a и b соответственно, прямые a и b пересекаются в точке М . По определению угол между пересекающимися плоскостями и равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Отложим от точки М в плоскости нормальные векторы и плоскостей и . При этом вектор лежит на прямой, которая перпендикулярна прямой a , а вектор - на прямой, которая перпендикулярна прямой b . Таким образом, в плоскости вектор - нормальный вектор прямой a , - нормальный вектор прямой b .

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b , а, следовательно, и косинус угла между пересекающимися плоскостями и находится по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Тогда вычисляется как .

Решим предыдущий пример методом координат.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ=2 , AD=3 , АА 1 =7 и точка E делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А . Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1 .

Решение.

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С , а координатные оси Ox , Oy и Oz направить по сторонам CD , CB и CC 1 соответственно.

Угол между плоскостями АВС и BED 1 может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей АВС и BED 1 соответственно. Определим координаты нормальных векторов.